Ile jest podprzestrzeni niezmienniczych i jak je opisać?

[tadol98]

Wyznacz wektory i wartości własne odwzorowania
\(\displaystyle{ f: \RR^{3} \rightarrow \RR^{3}, f(x,y,z)=(x+y,x-y+z,2y+z).}\)
Ile jest podprzestrzeni niezmienniczych wymiaru 1 i jak można je opisać?
wektory i wartości własne umiem wyznaczyć ale co to są podprzestrzenie niezmiennicze ile ich jest i jak można je opisać?

[yorgin]

Podprzestrzeń niezmiennicza \(\displaystyle{ U}\) to taka podprzestrzeń, dla której zachodzi

\(\displaystyle{ f(U)\subset U}\).

Jednowymiarowe podprzestrzenie niezmiennicze można wyznaczyć w oparciu o wektory własne, gdyż jeśli

\(\displaystyle{ f(v)=av}\)

gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest wartością własną, a \(\displaystyle{ v}\) wektorem własnym jej odpowiadającym, to

\(\displaystyle{ U:=\mbox{span}(v)}\)

jest jednowymiarową podprzestrzenią niezmienniczą \(\displaystyle{ (f(U)=U)}\) o ile \(\displaystyle{ a\neq 0}\).

[tadol98]

czyli jeżeli wartości własne odwzorowania wyszły: \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2}\)
a wektory własne wyszły:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} -\alpha\\0\\\alpha\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} \frac{\beta}{2}\\\frac{\beta}{2}\\\beta\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} \frac{\gamma}{2}\\\frac{-3\gamma}{2}\\\gamma\end{array}\right]}\)
to będą tu 3 podprzestrzenie niezmiennicze i można je opisać jako:
\(\displaystyle{ f \left( -\alpha,0,\alpha \right) =1\left[\begin{array}{ccc} -\alpha\\0\\\alpha\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ f \left( \frac{\beta}{2},\frac{\beta}{2},\beta \right) =2\left[\begin{array}{ccc} \frac{\beta}{2}\\\frac{\beta}{2}\\\beta\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ f \left( \frac{\gamma}{2},\frac{-3\gamma}{2},\gamma \right) =-2\left[\begin{array}{ccc} \frac{\gamma}{2}\\\frac{-3\gamma}{2}\\\gamma\end{array}\right]}\)
Dobrze zrozumiałem?

[yorgin]

Prawie. Podprzestrzenie opisuje się nie w fomie przekształceń na wektorach, tylko jako zbiory.

Poza tym wektory własne zwykle ustala się, nie uzmiennia parametrem.

Dla przykładu więc \(\displaystyle{ U_1=\mbox{span}((-1,0,1))}\) jest jednowymiarową podprzestrzenią niezmienniczą.