Przekształcenie liniowe

[PolibudaToSieUda]

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \varphi : \RR^{3} \rightarrow \RR ^{3}}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ (\varphi) ((x,y,z))=(-2y-z,x-3y-z,y)}\)
a) Zapisz macierz \(\displaystyle{ M _{\epsilon_3} (\varphi (1,1,-1))}\).
b) Zapisz macierz \(\displaystyle{ M ^{\epsilon^3}_{\epsilon_3} (\varphi)}\).
c) Uzasadnij czy istnieje baza \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) składająca się z wektorów własnych przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\).
d) Wyznacz bazę im \(\displaystyle{ \varphi}\).
e) Wyznacz jądro tego przekształcenia.

Jak na razie sam doszedłem do takich wyników:

a) \(\displaystyle{ M _{\epsilon_3} (\varphi (1,1,-1)) = \begin{bmatrix} -1\\-1\\1\end{bmatrix}}\)

b) \(\displaystyle{ M ^{\epsilon^3}_{\epsilon_3} (\varphi) = \begin{bmatrix} 0&-2&-1\\1&-3&-1\\0&1&0\end{bmatrix}}\)

c) Istnieje baza, ponieważ wykazałem, że \(\displaystyle{ a \cdot (0,1,0) + b \cdot (-2,-3,1) + c \cdot (-1,-1,0) = (0,0,0) \Leftrightarrow a=b=c=0}\)

d) \(\displaystyle{ \Im \varphi =\{(-1,-1,0),(0,1,0)\}}\)

e) \(\displaystyle{ \ker \varphi =\{(0,0,0)\}}\)

Proszę o potwierdzenie i ewentualną pomoc i wytłumaczenie

[a4karo]

Twoje odpowiedzi na d) i e) przeczą sobie

[PolibudaToSieUda]

Okej, sprawdziłem jeszcze raz i wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ \ker \varphi = ((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)) \\
\mathrm{im} \, \varphi = ((0,-2,-1),(1,-3,-1),(0,1,0))}\)

//edit: Tylko teraz, nie wychodzi mi przypadkiem \(\displaystyle{ \dim V=6}\) ?

Jest teraz okej?
Jądro liczyłem przyrównując wektory przekształcenia do \(\displaystyle{ 0}\), a obraz - ustalając rząd macierzy z pkt b).

[Jan Kraszewski]

Okej, sprawdziłem jeszcze raz i wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ \ker \varphi = ((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))}\)

Tylko jedno odwzorowanie ma takie jądro - odwzorowanie zerowe, tzn \(\displaystyle{ \varphi(x,y,z)=(0,0,0)}\).

JK

[PolibudaToSieUda]

Dzięki za pomoc