baza przestrzeni z parametrem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
michalm08
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 12 lis 2017, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

baza przestrzeni z parametrem

Post autor: michalm08 »

zad: Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \lambda \in \RR}\) wektory \(\displaystyle{ (1,1,1),(1,\lambda,2),(2,3,4)}\) tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\).

1 sprawdzam czy sa lin niezależne

\(\displaystyle{ a\left[\begin{array}{ccc}1\\1\\1\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{ccc}1\\\lambda\\2\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{ccc}2\\3\\4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+2c=0\\a+\lambda b+3c=0\\a+2b+4c=0\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases} a=-b-2c\\b(\lambda-1) +c=0\\b+2c=0\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases} b=-2c\\a=0\\c(-2\lambda+2+1)=0\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases} a=0\\b=-2c\\c(3-2\lambda)=0\end{cases}}\)


podane wektory sa liniowo niezależne o ile \(\displaystyle{ \lambda \neq \frac{3}{2}}\)

i tu pojawia sie moje pytanie
czy to jest koniec zadania i juz wiem dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) wektory tworza baze czy moze musze jeszcze cos sprawdzic

prosze o pomoc
Ostatnio zmieniony 24 sty 2019, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

baza przestrzeni z parametrem

Post autor: janusz47 »

Z definicji bazy.
1.
Układ wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}}\) dla \(\displaystyle{ \lambda\neq \frac{3}{2}}\) jest liniowo niezależny.
2.
Układ wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}}\) rozpina przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^3,}\) to znaczy \(\displaystyle{ \RR^3 = lin(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}),}\)
tworzy więc bazę tej przestrzeni.
ODPOWIEDZ