Baza przestrzeni

[mateuszmm7]

Dzień dobry, mam problem z następującymi zadaniami:

1. Czy \(\displaystyle{ \left\{ -1, x+1, (x-1) ^{2}, (x+2) ^{3} \right\}}\) są bazą w \(\displaystyle{ \RR _{3}[x]}\)

2. Zbadaj liniową niezalezność \(\displaystyle{ \left\{ 3x^2+2x-1; -x^2+3x+2; 4x^2+10x+2\right\}}\)

normalnie wiem jak to liczyć, ale nie mam pojęcia co robić z tymi "\(\displaystyle{ x}\)"..

z góry dziękuję za pomoc

[sandra7]

Zadanie1.
Wektory tworzą bazę, kiedy są liniowo niezależne i każdy inny wektor tej samej przestrzeni można przedstawić jako liniową kombinację tych wektorów. Zatem stwórz macierz zawierającą współczynniki przy zmiennych:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&-1\\0&0&1&1\\0&1&-2&1\\1&6&12&8\end{array}\right]}\), a następnie sprawdź liniową niezależność.

Zadanie 2.
Warunkiem liniowej niezależności jest, aby: \(\displaystyle{ a \cdot v _{1}+b \cdot v _{2} +c \cdot v _{3}=0}\). Teraz podstawiamy: \(\displaystyle{ a \cdot (3x^2+2x-1)+b \cdot (-x^2+3x+2)+c \cdot (4x^2+10x+2)=0}\). Następnie grupujemy: \(\displaystyle{ x^2(3a-b+4c)+x(2a+3b+10c)+(-a+2b+2c)=0}\). Jeśli wektory są liniowo niezależne, to: \(\displaystyle{ a=b=c=0}\). Jeśli otrzymasz, że któryś z nich zależy od innego, to warunek liniowej niezależności nie jest spełniony, czyli wektory nie są liniowo niezależne.