1. Niech \(\displaystyle{ A \in M _{n}(Z)}\) oraz \(\displaystyle{ b _{1},...,b _{k}}\) będą liczbami całkowitymi takimi, że \(\displaystyle{ detA=b _{1}...b _{k}}\). Udowodnij, że istnieją \(\displaystyle{ B _{1},...,B _{k} \in M _{n}(Z)}\) takie, że \(\displaystyle{ A= B _{1}...B _{k}}\) oraz \(\displaystyle{ detB _{i}=b _{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,k}\).
2. Niech \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) będą rzeczywistymi macierzami \(\displaystyle{ n \times n}\), takimi, że \(\displaystyle{ A ^{2}+B ^{2}=AB}\). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ BA-AB}\) jest macierzą odwracalną, to \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez 3.
3. Niech \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) będą macierzami \(\displaystyle{ n \times n}\) o współczynnikach rzeczywistych. Załóżmy, że istnieją parami różne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ t _{1},...,t _{n+1}}\) takie, że macierze \(\displaystyle{ C _{i}=A+t _{i}B}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,n+1}\) są nilpotentne. Wykaż, że macierze \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) są nilpotentne.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu powyższych zadań.
macierze odwracalne, nilpotentne
-
whenyoulaugh
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 20 maja 2015, o 08:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: macierze odwracalne, nilpotentne
Lemat 1
Niech \(\displaystyle{ A\in M_n(\mathbb{Z})}\). Wówczas istnieją macierze \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ R}\) w \(\displaystyle{ M_n(\mathbb{Z})}\) odwracalne w tym pierścieniu oraz takie, że \(\displaystyle{ LAR}\) jest macierzą diagonalną.
Szkic dowodu dla dowolnego Euklidesowego pierścienia współczynników.
Najpierw niech \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) będą różnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi. Wówczas algorytm Euklidesa dla tej pary liczb można zapisać
\(\displaystyle{ (a,b)\mapsto \begin{cases} (a-b, b)&\mbox{ dla }a>b\\
(a, b-a)&\mbox{ dla }b>a
\end{cases}}\)
Oznacza to, że jeśli mamy macierz \(\displaystyle{ A= [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}\in M_n(\mathbb{Z})}\) to można przy użyciu operacji odejmowania wiersza od innego wiersza, mnożenia wiersza przez -1 oraz zamiany dwóch wierszy doprowadzić ją do takiej postaci, że na pierwszym miejscu w pierwszej kolumnie będzie znajdował się element \(\displaystyle{ NWD(a_{11},a_{21},...,a_{n1})}\) i pozostałe miejsca pierwszej kolumny będą zerami. Kontynuując przy użyciu operacji tego samego rodzaju można przez standardową procedurę przekształcić powstałą macierz do postaci, w której będzie ona górnotrójkątna. Operacje wykonane na macierzy można zapisać jako pomnożenie macierzy \(\displaystyle{ A}\) z lewej strony przez ciąg macierzy odpowiednich operacji elementarnych. Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie iloczynem tych wszystkich macierzy. Stąd \(\displaystyle{ LA}\) jest macierzą górnotrójkątną i \(\displaystyle{ L}\) jest iloczynem odwracalnych macierzy całkowitoliczbowych, a więc \(\displaystyle{ L}\) jest odwracalną macierzą całkowitoliczbową. Następnie analogiczną procedurę można zastosować do kolumn macierzy górnotrójkątnej \(\displaystyle{ LA}\) otrzymując macierz odwracalną całkowitoliczbową \(\displaystyle{ R}\) taką, że \(\displaystyle{ LAR}\) jest macierzą diagonalną.
Uwaga. Powyższy rezultat jest też prawdziwy dla macierzy \(\displaystyle{ A}\) o współczynnikach w dowolnej dziedzinie ideałów głównych, ale nam to nie jest potrzebne.
Zadanie 1 teraz już łatwo rozwiązać korzystając z Lematu 1. Wystarczy wziąć macierz diagonalną \(\displaystyle{ LAR}\) dla niej zapisać \(\displaystyle{ LAR = B_1\cdot B_2\cdot ...\cdot B_k}\) (w przypadku macierzy diagonalnych całkowitoliczbowych teza jest łatwa i \(\displaystyle{ |\mathrm{det}(LAR)| = |\mathrm{det}(A)|}\)) i następnie poprawić tzn. napisać \(\displaystyle{ A = (L^{-1}B_1)\cdot B_2\cdot ...\cdot B_{k-1}\cdot (B_kR^{-1})}\). Szczegóły pozostawiam czytelnikowi.
Lemat 2
Niech \(\displaystyle{ A\in M_{n}(\mathbb{R})}\) będzie macierzą nilpotentną. Wówczas \(\displaystyle{ A^n=0}\).
Wskazówka do dowodu.
Zapisać \(\displaystyle{ A}\) w postaci Jordana nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) i przyjrzeć się jej klatkom Jordana. Można też dowodzić bezpośrednio poprzez rozważanie endomorfizmu stowarzyszonego z macierzą \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).
Zadanie 3 można teraz rozwiązać następująco. Rozważmy macierz \(\displaystyle{ P(x) = (A+xB)^n}\) o współczynnikach w pierścieniu wielomianów \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]}\). Łatwo zauważyć, że wszystkie współczynniki macierzy \(\displaystyle{ P(x)}\) są wielomianami nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\). Ponadto
\(\displaystyle{ P(t_1) = P(t_2) = ... = P(t_n) = P(t_{n+1}) = 0}\)
na mocy Lematu 2. Wiemy też, że wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) nad ciałem charakterystyki zero ma \(\displaystyle{ n+1}\)-pierwiastków wtedy i tylko wtedy, gdy jest wielomianem zerowym. Stąd wszystkie współczynniki macierzy \(\displaystyle{ P(x)}\) są wielomianami zerowymi. Uzyskujemy
\(\displaystyle{ 0 = P(0) = A^n}\)
oraz
\(\displaystyle{ 0 = \lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{1}{t^n}\cdot P(t) = \lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{1}{t^n}\cdot (A+t\cdot B)^n = \lim_{t\rightarrow +\infty}(A\cdot \frac{1}{t}+B)^n=B^n}\)
Klasyka.
Jeśli chodzi o zadanie 2, to znalazłem naprawdę prosty argument, ale nie mieści się on na marginesie czy jakoś tak.
Jeśli chodzi serię https://www.matematyka.pl/438452.htm, to jest ona łatwa i proponuję, żebyś przedstawił/a swoje pomysły i próby w tamtym wątku. Na pewno ktoś Ci wówczas pomoże.
Niech \(\displaystyle{ A\in M_n(\mathbb{Z})}\). Wówczas istnieją macierze \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ R}\) w \(\displaystyle{ M_n(\mathbb{Z})}\) odwracalne w tym pierścieniu oraz takie, że \(\displaystyle{ LAR}\) jest macierzą diagonalną.
Szkic dowodu dla dowolnego Euklidesowego pierścienia współczynników.
Najpierw niech \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) będą różnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi. Wówczas algorytm Euklidesa dla tej pary liczb można zapisać
\(\displaystyle{ (a,b)\mapsto \begin{cases} (a-b, b)&\mbox{ dla }a>b\\
(a, b-a)&\mbox{ dla }b>a
\end{cases}}\)
Oznacza to, że jeśli mamy macierz \(\displaystyle{ A= [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}\in M_n(\mathbb{Z})}\) to można przy użyciu operacji odejmowania wiersza od innego wiersza, mnożenia wiersza przez -1 oraz zamiany dwóch wierszy doprowadzić ją do takiej postaci, że na pierwszym miejscu w pierwszej kolumnie będzie znajdował się element \(\displaystyle{ NWD(a_{11},a_{21},...,a_{n1})}\) i pozostałe miejsca pierwszej kolumny będą zerami. Kontynuując przy użyciu operacji tego samego rodzaju można przez standardową procedurę przekształcić powstałą macierz do postaci, w której będzie ona górnotrójkątna. Operacje wykonane na macierzy można zapisać jako pomnożenie macierzy \(\displaystyle{ A}\) z lewej strony przez ciąg macierzy odpowiednich operacji elementarnych. Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie iloczynem tych wszystkich macierzy. Stąd \(\displaystyle{ LA}\) jest macierzą górnotrójkątną i \(\displaystyle{ L}\) jest iloczynem odwracalnych macierzy całkowitoliczbowych, a więc \(\displaystyle{ L}\) jest odwracalną macierzą całkowitoliczbową. Następnie analogiczną procedurę można zastosować do kolumn macierzy górnotrójkątnej \(\displaystyle{ LA}\) otrzymując macierz odwracalną całkowitoliczbową \(\displaystyle{ R}\) taką, że \(\displaystyle{ LAR}\) jest macierzą diagonalną.
Uwaga. Powyższy rezultat jest też prawdziwy dla macierzy \(\displaystyle{ A}\) o współczynnikach w dowolnej dziedzinie ideałów głównych, ale nam to nie jest potrzebne.
Zadanie 1 teraz już łatwo rozwiązać korzystając z Lematu 1. Wystarczy wziąć macierz diagonalną \(\displaystyle{ LAR}\) dla niej zapisać \(\displaystyle{ LAR = B_1\cdot B_2\cdot ...\cdot B_k}\) (w przypadku macierzy diagonalnych całkowitoliczbowych teza jest łatwa i \(\displaystyle{ |\mathrm{det}(LAR)| = |\mathrm{det}(A)|}\)) i następnie poprawić tzn. napisać \(\displaystyle{ A = (L^{-1}B_1)\cdot B_2\cdot ...\cdot B_{k-1}\cdot (B_kR^{-1})}\). Szczegóły pozostawiam czytelnikowi.
Lemat 2
Niech \(\displaystyle{ A\in M_{n}(\mathbb{R})}\) będzie macierzą nilpotentną. Wówczas \(\displaystyle{ A^n=0}\).
Wskazówka do dowodu.
Zapisać \(\displaystyle{ A}\) w postaci Jordana nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) i przyjrzeć się jej klatkom Jordana. Można też dowodzić bezpośrednio poprzez rozważanie endomorfizmu stowarzyszonego z macierzą \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).
Zadanie 3 można teraz rozwiązać następująco. Rozważmy macierz \(\displaystyle{ P(x) = (A+xB)^n}\) o współczynnikach w pierścieniu wielomianów \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]}\). Łatwo zauważyć, że wszystkie współczynniki macierzy \(\displaystyle{ P(x)}\) są wielomianami nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\). Ponadto
\(\displaystyle{ P(t_1) = P(t_2) = ... = P(t_n) = P(t_{n+1}) = 0}\)
na mocy Lematu 2. Wiemy też, że wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) nad ciałem charakterystyki zero ma \(\displaystyle{ n+1}\)-pierwiastków wtedy i tylko wtedy, gdy jest wielomianem zerowym. Stąd wszystkie współczynniki macierzy \(\displaystyle{ P(x)}\) są wielomianami zerowymi. Uzyskujemy
\(\displaystyle{ 0 = P(0) = A^n}\)
oraz
\(\displaystyle{ 0 = \lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{1}{t^n}\cdot P(t) = \lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{1}{t^n}\cdot (A+t\cdot B)^n = \lim_{t\rightarrow +\infty}(A\cdot \frac{1}{t}+B)^n=B^n}\)
Klasyka.
Jeśli chodzi o zadanie 2, to znalazłem naprawdę prosty argument, ale nie mieści się on na marginesie czy jakoś tak.
Jeśli chodzi serię https://www.matematyka.pl/438452.htm, to jest ona łatwa i proponuję, żebyś przedstawił/a swoje pomysły i próby w tamtym wątku. Na pewno ktoś Ci wówczas pomoże.