funkcja wielomianowa, postać Jordana

[whenyoulaugh]

1.Udowodnij, że każda funkcja \(\displaystyle{ f : F _{p} \rightarrow F _{p}}\) jest funkcją wielomianową stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ p-1}\).
2.Wyznacz postać Jordana macierzy endomorfizmu \(\displaystyle{ F}\) w przestrzeni zespolonej skończenie wymiarowej, jeśli \(\displaystyle{ F ^{3}=F ^{2}}\).
3.Udowodnij, że jeżeli jedna z macierzy \(\displaystyle{ A,B \in M _{n}(C)}\) jest odwracalna, to macierze \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BA}\) mają taką samą postać Jordana.

Nie bardzo wiem jak się za to zabrać.

[bartek118]

1. Idea - niezerowy wielomian może mieć co najwyżej \(\displaystyle{ p-1}\) pierwiastków. Gdyby miał \(\displaystyle{ p}\) pierwiastków, to oznaczałoby, że jest zerowy.
2. Skoro \(\displaystyle{ F=PJP^{-1}}\), więc
\(\displaystyle{ P J^3 P^{-1} = (PJP^{-1})^3 = F^3 = F^2 (PJP^{-1})^2 = PJ^2 P^{-1}}\)
Stąd \(\displaystyle{ J^3 = J^2}\).
3. Niech \(\displaystyle{ AB = PJP^{-1}}\). Wtedy \(\displaystyle{ BA = BAB B^{-1} = B P J P^{-1} B^{-1} = (BP)J(BP)^{-1}}\).