Znajdź odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f}\) spełniające warunki
\(\displaystyle{ f(1, 1, 0) = (1, -2), f(0, 0, 1) = (0, 1), f(-1, 1, 0) = (0, 2)}\)
oraz jego jadro i obraz.
Nie wiem zbytnio od czego zacząć
Odzwzorwanie liniowe
Odzwzorwanie liniowe
Ostatnio zmieniony 22 sty 2019, o 23:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Odzwzorwanie liniowe
Można by zacząć od wyznaczenia macierzy odwzorowania \(\displaystyle{ f}\). Taka macierz jest wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 3}\) bo pomnożenie jej przez wektor \(\displaystyle{ 3 \times 1}\) jest możliwe i w wyniku dostajemy wektor \(\displaystyle{ 2 \times 1}\). Zatem skoro \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe to ma macierz i w dodatku wiemy, że jest to macierz \(\displaystyle{ 3 \times 2}\). Postać macierzy wynika z rozwiązania układu równań zadanego warunkami zadania (mam nadzieję że się nie pomyliłem w obliczeniach). Tworzenie układy równań jest proste zakładamy, że niewiadomymi są elementy macierzy i powinno wyjść coś takiego:
\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{f}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\-2 & 0 & 1 \end{bmatrix}}\)
Teraz można wyznaczać jądro tej macierzy co będzie też jądrem tego przekształcenia \(\displaystyle{ f}\). Zapiszmy z definicji
\(\displaystyle{ \ker\mathcal{M}_{f}=\left\{ \begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}\in\RR^3 \ : \ \mathcal{M}_{f}\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\right\}=\text{lin}\left\{\begin{bmatrix} 1 \\-1\\ 2 \end{bmatrix} \right\}}\)
obrazem natomiast jest zbiór
\(\displaystyle{ \text{Im}\mathcal{M}_{f}=\left\{ \mathcal{M}_{f}\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix} \ : \ \begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}\in\RR^3\right\}=\text{lin}\left\{\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\-2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} \right\}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{f}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\-2 & 0 & 1 \end{bmatrix}}\)
Teraz można wyznaczać jądro tej macierzy co będzie też jądrem tego przekształcenia \(\displaystyle{ f}\). Zapiszmy z definicji
\(\displaystyle{ \ker\mathcal{M}_{f}=\left\{ \begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}\in\RR^3 \ : \ \mathcal{M}_{f}\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\right\}=\text{lin}\left\{\begin{bmatrix} 1 \\-1\\ 2 \end{bmatrix} \right\}}\)
obrazem natomiast jest zbiór
\(\displaystyle{ \text{Im}\mathcal{M}_{f}=\left\{ \mathcal{M}_{f}\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix} \ : \ \begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}\in\RR^3\right\}=\text{lin}\left\{\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\-2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} \right\}}\)