Znaleźć jądro i rząd odwzorowania określ. w zbiorze macierzy

[Hooterr]

Mam takie zadanie, że trzeba wyznaczyć jądro i rząd odwzorowania określonego tak:
\(\displaystyle{ T \left( \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}.}\)

Czyli skoro szukam jądra, to szukam takich macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\), dla których \(\displaystyle{ T(A) = 0}\). Jedyna taka macierz to macierz złożona z samych zer (to zrobiłem mnożąc te dwie macierze we wzorze, i porównując wszystkie jej wyrazy do zera i wyszło, że \(\displaystyle{ a = b = c = d = 0}\)). No i teraz, wiem że \(\displaystyle{ \dim V = \dim\ker T + \dim\Im T}\).
Czy \(\displaystyle{ \dim V}\) to \(\displaystyle{ 4}\)? Macierz \(\displaystyle{ 2\times 2}\) można zapisać jako kombinację liniową czterech macierzy, które mają same zera oprócz narożników, czyli wymiar takiej przestrzeni to \(\displaystyle{ 4}\), dobrze myślę?
I skoro wyszedł mi tylko jeden element jądra to jego wymiar to \(\displaystyle{ 0}\)? Co jakby wyszło mi np. \(\displaystyle{ 2}\)-elementowe jądro? To wtedy wymiar jądra to byłaby liczba liniowo niezależnych elementów tego jądra?
A tak z ciekawości to jak będzie wyglądała macierz takiego odwzorowania?

I jeszcze takie coś
Mam odwzorowanie określone \(\displaystyle{ L \left( A \right) = 2A + A^{T}}\) gdzie \(\displaystyle{ A \in M_{2 \times 2}}\)
mam znaleźć wartości własne takiego przekształcenia. Jak mam macierz odwzorowanie to dalej wszystko umiem, ale co zrobić jak mam odwzorowanie określone w taki sposób? Jak napisać macierz takiego odwzorowania?