Oblicz macierz

[Whatup]

Witam wszystkich forumowiczów!
Czy ktoś może mi pomóc z tym zadaniem?
Wiedząc, że \(\displaystyle{ \det A=7}\) i \(\displaystyle{ \det B=3}\) oraz, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są macierzami stopnia \(\displaystyle{ 3}\) oblicz:

\(\displaystyle{ \det \left( 2C \right) ^{T} D^{T} \left( C^{T} D^{T} \right) ^T.}\)

Gdzie \(\displaystyle{ C}\) powstaje z \(\displaystyle{ A}\) przez zamianę pierwszych dwóch wierszy, a \(\displaystyle{ D}\) powstaje z \(\displaystyle{ B}\) przez pomnożenie 3. kolumny przez \(\displaystyle{ 4}\).
Z góry dziękuję za pomoc.

[Rafsaf]

Lematy do udowodnienia:
1) \(\displaystyle{ \det A = \det A^{T}}\)
2) Zamiana miejscami kolumn nie zmienia wyznacznika co do znaku(a zatem z tego wyżej wynika że zamiana miejscami wierszy również go nie zmienia co do znaku)
3) Mnożąc którąś z kolumn(któryś wiersz) przez \(\displaystyle{ \lambda}\), wyznacznik zwiększa się \(\displaystyle{ \lambda}\) razy

[a4karo]

2) Zamiana miejscami kolumn nie zmienia wyznacznika co do znaku

Nie prościej (i jaśniej) powiedzieć: "zmienia znak wyznacznika"?

[Rafsaf]

Prościej
(i jaśniej)

[Whatup]

Lematy do udowodnienia:
1) \(\displaystyle{ \det A = \det A^{T}}\)
2) Zamiana miejscami kolumn nie zmienia wyznacznika co do znaku(a zatem z tego wyżej wynika że zamiana miejscami wierszy również go nie zmienia co do znaku)
3) Mnożąc którąś z kolumn(któryś wiersz) przez lambda , wyznacznik zwiększa się lambda razy

Dzięki za odpowiedź. Teraz doszedłem do postaci: \(\displaystyle{ 2^{3} \cdot (-7)^{} \cdot D^{T} \cdot C^{} \cdot D}\) , ale nie wiem co zrobić z "\(\displaystyle{ C}\)" i "\(\displaystyle{ D}\)", bo mam tylko ich wyznaczniki. Jakieś pomysły?

[Rafsaf]

Ale trzeba Ci coś więcej niż ich wyznaczniki?

[Whatup]

Ale trzeba Ci coś więcej niż ich wyznaczniki?

To gdy mam w równaniu \(\displaystyle{ C \cdot D}\), nie chodzi o mnożenie macierzy tylko ich wyznaczników?

[Rafsaf]

Oczywiście, że chodzi o wyznacznik iloczynu macierzy, tyle tylko, że to jest to samo co iloczyn wyznaczników każdej z nich, mamy

\(\displaystyle{ \det ABC = \det A \cdot \det B \cdot \det C}\)

Na tym właściwie polega to zadanie by z tego skorzystać(dowód trudny).
A ogólnie to nie jest równanie, wyznacznik to liczba, Ty masz tylko policzyć co to za liczba.

[Whatup]

Oczywiście, że chodzi o wyznacznik iloczynu macierzy, tyle tylko, że to jest to samo co iloczyn wyznaczników każdej z nich, mamy

\(\displaystyle{ \det ABC = \det A \cdot \det B \cdot \det C}\)

Na tym właściwie polega to zadanie by z tego skorzystać(dowód trudny).
A ogólnie to nie jest równanie, wyznacznik to liczba, Ty masz tylko policzyć co to za liczba.

Dobra dziękuję Ci bardzo. Nie byłem tego pewny po w następnym zadaniu mam np. \(\displaystyle{ \det(AB)}\) myślałem, że żeby chodziło o wyznacznik macierzy to musi być właśnie tak zapisane.