Niech A będzie macierzą kwadratową spełniającą równanie:
\(\displaystyle{ A^2-4A+2I = 0}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą nieosobliwą oraz znajdź jej macierz odwrotną.
Jak w ogóle do tego podejść? :/
Pozdrawiam.
Dowód wzoru z macierzą kwadratową
-
MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Dowód wzoru z macierzą kwadratową
Przekształćmy równoważnie dane równanie korzystając z podstawowych własności działań na macierzach. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ A(2I-\frac{1}{2}A)=I}\). Z tego widać, że jeżeli macierz \(\displaystyle{ 2I-\frac{1}{2}A}\) jest macierzą niezerową, to jest macierzą odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ A}\). Gdyby zaś ta macierz była zerowa, to wtedy \(\displaystyle{ A=4I}\), a to nie zachodzi nigdy, o czym łatwo się przekonać podstawiając do wyjściowego równania. W związku z tym, że macierz jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna, mamy to o co chodziło. Ostatecznie \(\displaystyle{ A^{-1}=2I-\frac{1}{2}A}\).
\(\displaystyle{ A(2I-\frac{1}{2}A)=I}\). Z tego widać, że jeżeli macierz \(\displaystyle{ 2I-\frac{1}{2}A}\) jest macierzą niezerową, to jest macierzą odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ A}\). Gdyby zaś ta macierz była zerowa, to wtedy \(\displaystyle{ A=4I}\), a to nie zachodzi nigdy, o czym łatwo się przekonać podstawiając do wyjściowego równania. W związku z tym, że macierz jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna, mamy to o co chodziło. Ostatecznie \(\displaystyle{ A^{-1}=2I-\frac{1}{2}A}\).