Oblicz wyznacznik macierzy

[DonElektron]

Oblicz wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}
1& x& x^2 &x^3\\
x^3&1&x&x^2\\
x^2&x^3&1&x\\
x&x^2&x^3&1
\end{array}
\right]}\)

[kerajs]

Liczyłbym zwyczajnie, bez kombinowania z przekształceniami elementarnymi:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}
1& x& x^2 &x^3\\
x^3&1&x&x^2\\
x^2&x^3&1&x\\
x&x^2&x^3&1\end{array}\right|=\\
\\=
\left|\begin{array}{ccc}
1&x&x^2\\
x^3&1&x\\
x^2&x^3&1\end{array}\right|-x\left|\begin{array}{ccc}
x^3&x&x^2\\
x^2&1&x\\
x&x^3&1\end{array}\right|+x^2\left|\begin{array}{ccc}
x^3&1&x^2\\
x^2&x^3&x\\
x&x^2&1\end{array}\right|-x^3\left|\begin{array}{cccc}
x^3&1&x\\
x^2&x^3&1\\
x&x^2&x^3\end{array}\right|=\\
\\=...}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1& x& x^2 &x^3\\
x^3&1&x&x^2\\
x^2&x^3&1&x\\
x&x^2&x^3&1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
1& x& x^2 &x^3\\
x^3&1&x&x^2\\
0&0&1-x^4&0\\
x&x^2&x^3&1 \end{bmatrix}= \left( 1-x^4 \right) \begin{bmatrix}
1& x&x^3\\
x^3&1&x^2\\
x&x^2&1 \end{bmatrix}\\
= \left( 1-x^4 \right) \begin{bmatrix}
1& x&x^3\\
0 &1-x^4&0\\
x&x^2&1 \end{bmatrix}= \left( 1-x^4 \right) ^2\begin{bmatrix}
1&x^3\\
x&1 \end{bmatrix}= \left( 1-x^4 \right) ^3}\)