W zależności od parametru podaj l rozwiązań układu równań

[rivit]

W zależności od parametru p podaj liczbę rozwiązań układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} (1-p)x + 2y + z = p\\x+(2-p)y + z = 0\\x+2y+(1-p)z = p\\-2x-z = -p\end{cases}}\)


Wpakowałem współczynniki w macierz i policzyłem wyznacznik tej macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-p&2&1&p\\1&2-p&1&0\\1&2&1-p&p\\-2&0&-1&-p\end{bmatrix}}\)

otrzymałem:
\(\displaystyle{ p^2\left( p^2-p-6\right)}\)

Jednak co teraz mam zrobić? Z czego skorzystać?
Pozdrawiam

[kerajs]

\(\displaystyle{ p^2\left( p^2-p-6\right)}\)

Sprawdź co się dzieje dla parametrów p zerujących Twój wyznacznik. Dla pozostałych p układ jest sprzeczny (bo rząd z macierzy dołączonej jest równy 4 i na pewno jest większy od rzędu z macierzy głównej).

[rivit]

Tak jak mówiłeś. Dla p niezerujących wyznacznika układ sprzeczny

Nieskonczenie wiele rozwiazan gdy \(\displaystyle{ p = 0}\)
1 rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ p = 3 \vee p = -2}\)

Mogłby ktoś sprawdzić?

oraz jak to powiązać z dalszą cześcią zadania:


Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left( p, 0, p, -p\right) \in Lin{\left(1 - p, 1, 1, -2 \right),\left( 2, 2 - p, 2, 0\right),\left( 1, 1, 1 - p, -1\right) }}\)?
Dla jakich wartości \(\displaystyle{ p}\) wymiar \(\displaystyle{ Lin{\left(1 - p, 1, 1, -2 \right),\left( 2, 2 - p, 2, 0\right),\left( 1, 1, 1 - p, -1\right) }}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ 3}\)?
Uzasadnij odpowiedzi.