Mówimy, że funkcjonały \(\displaystyle{ \phi_{1}}\), \(\displaystyle{ \phi_{2}}\) na przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) są proporcjonale, jeżeli istnieje niezerowy skalar \(\displaystyle{ \lambda}\) taki, że \(\displaystyle{ \lambda \phi_{1}= \phi_{2}}\) Wykazać, że funkcjonały na przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) mają takie same jądra wtedy i tylko wtedy gdy są proporcjonalne.
Nie wiem jak się za to zabrać. Proszę o pomoc
Proporcjonalne funkcjonały
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 262
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 69 razy
-
Kordyt
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Proporcjonalne funkcjonały
Implikacja \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) jest trywialna - pokaż swoje propozycje.
Implikacja \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) tj jeżeli funkcjonały mają te same jądra to są proporcjonalne
Wiemy, że \(\displaystyle{ ker\phi_1=\ker\phi_2}\)
Ustalmy sobie dwa wektory \(\displaystyle{ v,w\in V\setminus ker\phi}\), wtedy funkcjonały nie zerują się na takich wektorach.
Niech: \(\displaystyle{ \phi_1(v)=a}\) oraz \(\displaystyle{ \phi_1(w)=b}\) Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{\phi_1(v)}{\phi_1(w)}=\frac{a}{b}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \phi_1 (v-\frac{a}{b}w)=0}\) a więc \(\displaystyle{ v-\frac{a}{b}w\in ker\phi}\)
Z równości jąder dostajemy
\(\displaystyle{ \phi_2 (v-\frac{a}{b}w)=0}\)
A więc
\(\displaystyle{ \phi_2(v)=\phi_2\left(\frac{a}{b}w\right)=\frac{a}{b}\phi_2(w)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\phi_2(v)}{\phi_2(w)}=\frac{a}{b}}\)
Ostatecznie wychodzi nam
\(\displaystyle{ \frac{\phi_1(v)}{\phi_1(w)}=\frac{\phi_2(v)}{\phi_2(w)}=\frac{\lambda\phi_2(v)}{\lambda\phi_2(w)}}\)
A więc \(\displaystyle{ \phi_1(v)=\lambda \phi_2(v)}\) dla \(\displaystyle{ v,\in V\setminus ker\phi}\)
Dla \(\displaystyle{ v\in ker\phi}\) równość jest oczywista.
A i też to jest rozwiązanie przy założeniu że funkcjonały są liniowe.
W zasadzie teraz widzę, że w treści nie ma informacji czy są liniowe czy nie.
Implikacja \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) tj jeżeli funkcjonały mają te same jądra to są proporcjonalne
Wiemy, że \(\displaystyle{ ker\phi_1=\ker\phi_2}\)
Ustalmy sobie dwa wektory \(\displaystyle{ v,w\in V\setminus ker\phi}\), wtedy funkcjonały nie zerują się na takich wektorach.
Niech: \(\displaystyle{ \phi_1(v)=a}\) oraz \(\displaystyle{ \phi_1(w)=b}\) Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{\phi_1(v)}{\phi_1(w)}=\frac{a}{b}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \phi_1 (v-\frac{a}{b}w)=0}\) a więc \(\displaystyle{ v-\frac{a}{b}w\in ker\phi}\)
Z równości jąder dostajemy
\(\displaystyle{ \phi_2 (v-\frac{a}{b}w)=0}\)
A więc
\(\displaystyle{ \phi_2(v)=\phi_2\left(\frac{a}{b}w\right)=\frac{a}{b}\phi_2(w)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\phi_2(v)}{\phi_2(w)}=\frac{a}{b}}\)
Ostatecznie wychodzi nam
\(\displaystyle{ \frac{\phi_1(v)}{\phi_1(w)}=\frac{\phi_2(v)}{\phi_2(w)}=\frac{\lambda\phi_2(v)}{\lambda\phi_2(w)}}\)
A więc \(\displaystyle{ \phi_1(v)=\lambda \phi_2(v)}\) dla \(\displaystyle{ v,\in V\setminus ker\phi}\)
Dla \(\displaystyle{ v\in ker\phi}\) równość jest oczywista.
A i też to jest rozwiązanie przy założeniu że funkcjonały są liniowe.
W zasadzie teraz widzę, że w treści nie ma informacji czy są liniowe czy nie.