Rozłóż wielomian

[Wojtus2131]

nad ciałami \(\displaystyle{ \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x^7-4x^6+x^5+5x^4+5x^3+x^2-4x+1}\)
\(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem wielomianu, więc:
\(\displaystyle{ f(x)=(x+1)(x^6-5x^5+6x^4-x^3+6x^2-5x+1)}\)
co dalej?

[Dasio11]

Wskazówka: ten wielomian ma pierwiastek podwójny.

[Dilectus]

Powiem więcej: ten wielomian ma dwa pierwiastki podwójne. Jak do tego doszedłem> - Narysowałem jego wykres w programie GeoGebra.

Ale powiedz mi Dasio11, jak do tego doszedłeś?

[Janusz Tracz]

Wielomian \(\displaystyle{ x^6-5x^5+6x^4-x^3+6x^2-5x+1}\) nie zeruje się w \(\displaystyle{ x=0}\) zatem rozwiązując równanie

\(\displaystyle{ x^6-5x^5+6x^4-x^3+6x^2-5x+1=0}\)

można podzielić stronami przez \(\displaystyle{ x^3}\) co dało by:

\(\displaystyle{ x^3-5x^2+6x-1+ \frac{6}{x} - \frac{5}{x^2} + \frac{1}{x^3}=0}\)

za to można zapisać jako

\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{x} \right)^3-3\left( x+ \frac{1}{x} \right)-5\left( x+ \frac{1}{x} \right)^2+10+6\left( x+ \frac{1}{x} \right)-1=0}\)

kładąc pomocniczo \(\displaystyle{ t= x+ \frac{1}{x}}\) i upraszczając mamy

\(\displaystyle{ t^3-5t^2+3t+9=0}\)

dalej jest już łatwo zostawię dla chętny do powalczenia z tym...

[Wojtus2131]

dzięki za odpowiedź janusz, właśnie w ten sposób rozwiązałem ten problem