Równania macierzowe

[orzechu12321]

Witam,
W poniedziałek mam kolokwium z matematyki i dostałem kilka przykładowych zadań do rozwiazania, jednak na lekcji rozwiązywaliśmy o wiele prostsze, a te nawet nie wiem jak ruszyć? Czy ktoś mógłby pomoc i wytłumaczyć? Skąd w ogóle mogę nauczyć się ja takie zadania rozwiązywać?

1.
a) Obliczyć wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ X}\), jeśli wiadomo, że:

\(\displaystyle{ \det \left( \left( 2AB ^{T} \right) ^{-1}XC \right) =\det C^{T}}\)

gdzie macierze \(\displaystyle{ A,B,C}\) są nieosobliwymi macierzami stopnia \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ \det A = 3}\) i \(\displaystyle{ \det B = -1}\).

b) Podać przykład macierzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ X}\) spełniających warunki podane w zadaniu.

2. Wiedząc, że \(\displaystyle{ \det A = 7}\) i \(\displaystyle{ \det B = 3}\) oraz, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są macierzami stopnia \(\displaystyle{ 3}\) obliczyć:

a) \(\displaystyle{ \det \left( 2C \right) ^{T}D^{T} \left( C^{T}D^{T} \right) ^{T}}\)
b) \(\displaystyle{ \det \left( 3C \right) ^{T} \left( 2D \right) ^{-1}D^{T}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C}\) powstaje z \(\displaystyle{ A}\) przez zmianę pierwszych dwóch wierszy, a \(\displaystyle{ D}\) powstaje z \(\displaystyle{ B}\) przez pomnożenie 3. kolumny przez \(\displaystyle{ 4}\).

3. Wiedząc, że \(\displaystyle{ \det A=5}\) i \(\displaystyle{ \det B=2}\) oraz, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są macierzami stopnia \(\displaystyle{ 3}\) obliczyć:
a) \(\displaystyle{ \det \left( 4C \right) ^{-1}D^{T} \left( CD^{-1} \right) ^{T}}\)
b) \(\displaystyle{ \det \left( 3C \right) ^{T}D^{-1}C}\)
gdzie \(\displaystyle{ C}\) powstaje z \(\displaystyle{ A}\) przez zmianę dwóch ostatnich wierszy, a \(\displaystyle{ D}\) powstaje z \(\displaystyle{ B}\) przez pomnożenie 1. kolumny przez \(\displaystyle{ 2}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ \det Y^T=\det Y\\
\det Y^{-1}= \frac{1}{\det Y}\\
\det kY=k^s \det Y \ \ \text{ , (s - stopień Y) } \\
\det YZ=\det Y \det Z}\)

1a)
\(\displaystyle{ \det \left( \left( 2AB ^{T} \right) ^{-1}XC \right) =\det C^{T}}\)
\(\displaystyle{ \det \left( 2AB ^{T} \right) ^{-1} \det X \det C =\det C}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \det \left( 2AB ^{T} \right) } \det X =1}\)
\(\displaystyle{ \det X= \det \left( 2AB ^{T} \right) \\
\det X= 2^3 \det A \det B ^{T}\\
\det X=8 \cdot 3 \cdot (-1)}\)


Zamiana dwóch wierszy (kolumn) zmienia znak wyznacznika.
2)
\(\displaystyle{ \det C=-\det A=-7}\)
\(\displaystyle{ \det D=4\det B=12}\)
2a)
\(\displaystyle{ \det \left( 2C \right) ^{T}D^{T} \left( C^{T}D^{T} \right) ^{T}=
\det \left( 2C \right) ^{T}\det D^{T} \det \left( C^{T}D^{T} \right) ^{T}=
\det \left( 2C \right) \det D \det \left( C^{T}D^{T} \right) =\\=
2^3 \det C \det D \det C \det D=...}\)

3)
\(\displaystyle{ \det C=-\det A=-5}\)
\(\displaystyle{ \det D=2\det B=4}\)
3a)
\(\displaystyle{ \det \left( 4C \right) ^{-1}D^{T} \left( CD^{-1} \right) ^{T}=
\det \left( 4C \right) ^{-1}\det D^{T} \det \left( CD^{-1} \right) ^{T}= \frac{1}{\det 4C}\det D\det \left( CD^{-1} \right)=\frac{1}{4^3\det C}\det D\det C\det D^{-1} = \frac{1}{4^3}= ...}\)

[orzechu12321]

w takim razie mam takie pytanie jeszcze co do polecenia drugiego jeśli przy pomnożenia danej kolumny przez liczbę np. tak jak jest w poleceniu \(\displaystyle{ \det D=4\det B}\) to przy pomnożeniu danego wiersza sytuacja jest analogiczna? np mnożąc 3 wiersz \(\displaystyle{ \det D}\) przez \(\displaystyle{ 6}\) będzie coś takiego \(\displaystyle{ \det D=6\det B}\)?

I jak to się ma kiedy zamieniamy kolumny miejscami zamiast wierszy??