Wektory rozpinające całą przestrzeń

[Adi52]

Cześć,

mam problem z jednym zadaniem, mianowicie:
Czy te układy wektorów rozpinają całą przestrzeń?
\(\displaystyle{ (3,1,0,-2),(5,2,2,-1), (1,-1,0,-2),(5,1,1,-3),(-7,-3,1,5),(4,1,-2,-5)}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}
.^{4}}\)

Jaki jest schemat działania, gdy wektorów jest więcej niż wynosi wymiar przestrzeni?

[Janusz Tracz]

Możesz utworzyć macierz z tych wektorów i policzyć jej rząd (czyli liczbę niezależnych wektorów) jeśli rząd będzie równy \(\displaystyle{ 4}\) to wektory będą rozpinać \(\displaystyle{ \RR^4}\) w przeciwnym razie nie. Poza tym jeśli okazało by się że rząd będzie równy \(\displaystyle{ 4}\) to wystarczą tylko \(\displaystyle{ 4}\) z \(\displaystyle{ 6}\) wymienionych wektorów by wygenerować \(\displaystyle{ \RR^4}\)

[Adi52]

Bardzo dziękuję, wszystko się już zgadza

Mam jeszcze jedno pytanie. Mam zadanie, w którym mam podać bazę przestrzeni liniowych. np. w tych wektorach:

\(\displaystyle{ (1,1,0),(1,2,-3),(2,4,1)}\) w \(\displaystyle{ \RR^3}\)

\(\displaystyle{ (1,2,1,1),(2,-1,-1,4),(5,5,2,7)}\) w \(\displaystyle{ \RR^4}\)

Już sprawdziłem i wiem, że te wektory są niezależne. Czy to znaczy, że baza składa się z tych samych wektorów?

[Janusz Tracz]

Jeśli masz trzy niezależne wektory o trzech współrzędnych to tworzą one bazę w \(\displaystyle{ \RR^3}\) (pierwszy przypadek) ale trzy wektory na pewno nie mogą rozpinać przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\) dlatego \(\displaystyle{ (1,2,1,1),(2,-1,-1,4),(5,5,2,7)}\) na pewno nie są bazą \(\displaystyle{ \RR^4}\). Jeśli są niezależne to nogą być bazą podprzestrzeni liniowej wymiaru \(\displaystyle{ 3}\) (co najwyżej). To była by baza hiperpłaszczyzny zanurzona w \(\displaystyle{ \RR^4}\)

Czy to znaczy, że baza składa się z tych samych wektorów?

Nie jestem pewien czy dobrze zrozumiałem pytanie ale wydaje mi się, że odpowiedź jest twierdząca. Mając wektory niezależne tworzą one pewną bazę podprzestrzeni liniowej ale niekoniecznie zbiór wszystkich ich kombinacji liniowych tworzy całą przestrzeń (przykład drugi). Warto też wspomnieć że jedna podprzestrzeń może mieć wiele baz nieskładających się z różnych wektorów zatem takie wektory nie są w jakiś sposób wyróżnione.

[Adi52]

Rozumiem, przez przypadek w drugim przykładzie nie dopisałem 4 wektora.
Jak w takim razie powinna wyglądać odpowiedź do takiego zadania? Czyli dokładnie w jakiej postaci jest przedstawiana baza?

[Janusz Tracz]

Rozumiem, przez przypadek w drugim przykładzie nie dopisałem 4 wektora.

No to zmienia postać rzeczy. Masz więc cztery liniowo niezależne wektory przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\), zatem są one bazą \(\displaystyle{ \RR^4}\), tak samo jak trzy liniowo niezależne wektory są bazą \(\displaystyle{ \RR^3}\). Na pytanie, czy są to wektory bazy odpowiedziałbym tak, ale jak już wspomniałem nie ma w tych wektorach nic szczególnego, równie dobrze można znaleźć inne bazy. W tym pytaniu nie podoba mi się część "z tych samych"

Czy to znaczy, że baza składa się z tych samych wektorów?

No baza składa się z tych wektorów, ale są inne bazy równie dobre składające się z innych wektorów.

-- 17 sty 2019, o 01:20 --

Dla przykładu wektory też \(\displaystyle{ (1,0,0); \ (0,1,0); \ (0,0,1)}\) są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) i to znacznie wygodniejszą od \(\displaystyle{ (1,1,0),(1,2,-3),(2,4,1)}\) więc czy można powiedzieć że baza składa się z tych samych wektorów co \(\displaystyle{ (1,1,0),(1,2,-3),(2,4,1)}\)? No niekoniecznie. Bazą są wektory \(\displaystyle{ (1,1,0),(1,2,-3),(2,4,1)}\) ale nie tylko te się nadają.

[Adi52]

Bardzo dziękuję za pomoc! Już wszystko jasne.

Pozdrawiam