Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 23 maja 2018, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Treść zadania: Wyznaczyć jądro i obraz przekształcenia macierzy
\(\displaystyle{ A = \left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
2 & 4 & 3 & 3\\
3 & 6 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0
\end{array}
\right]
\quad}\)
I gdy obliczam to metodą gaussa to za każdym razem dochodzę do momentu gdzie mam taką macierz i nie wiem czy mam skreślić wiersze podobne czy też jakoś zrobić z tego macierz trójkątną?
\(\displaystyle{ A = \left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
2 & 4 & 3 & 3\\
3 & 6 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0
\end{array}
\right]
\qquad \xrightarrow{W_2 - 2W_1}
\xrightarrow{W_3 - 3 W_1}
\xrightarrow{W_4 - W_1}
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\qquad}\)
\(\displaystyle{ A = \left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
2 & 4 & 3 & 3\\
3 & 6 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0
\end{array}
\right]
\quad}\)
I gdy obliczam to metodą gaussa to za każdym razem dochodzę do momentu gdzie mam taką macierz i nie wiem czy mam skreślić wiersze podobne czy też jakoś zrobić z tego macierz trójkątną?
\(\displaystyle{ A = \left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
2 & 4 & 3 & 3\\
3 & 6 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0
\end{array}
\right]
\qquad \xrightarrow{W_2 - 2W_1}
\xrightarrow{W_3 - 3 W_1}
\xrightarrow{W_4 - W_1}
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\qquad}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Możesz je po prostu wyzerować korzystając z drugiego wiersza (dodając do ostatniego i odejmując dwukrotnie od trzeciego).
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 23 maja 2018, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Dobrze i teraz mam skreślić pozostałe wiersze zerowe czy co mam zrobić?
\(\displaystyle{ A =
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\qquad
\xrightarrow{W_4 + W_2 }
\xrightarrow{ W_3 - 2 W_2}
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\qquad}\)
\(\displaystyle{ A =
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\qquad
\xrightarrow{W_4 + W_2 }
\xrightarrow{ W_3 - 2 W_2}
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\qquad}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 23 maja 2018, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
hmm..coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4 = 0\\-x_3+x_4 = 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4 = 0\\-x_3+x_4 = 0\end{cases}}\)
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Po sprowadzeniu tego układu do postaci schodkowej dostajesz coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 0\\-x_3+x_4 = 0\end{cases}}\).
Parametryzujemy \(\displaystyle{ x_4=t}\), \(\displaystyle{ x_2=s}\), \(\displaystyle{ t, s\in\mathbb{R}}\) i wyznaczamy pozostałe rozwiązania z tego układu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 0\\-x_3+x_4 = 0\end{cases}}\).
Parametryzujemy \(\displaystyle{ x_4=t}\), \(\displaystyle{ x_2=s}\), \(\displaystyle{ t, s\in\mathbb{R}}\) i wyznaczamy pozostałe rozwiązania z tego układu.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 23 maja 2018, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Do takiej postaci to sprowadzić?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2s + 3t = 0 \\ x_3 = t \end{cases}
\\
ker = \left\{ \left[ 1 \right],s\left[ 2\right],t\left[ 1\right] ,t\left[ 3\right] \right\}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2s + 3t = 0 \\ x_3 = t \end{cases}
\\
ker = \left\{ \left[ 1 \right],s\left[ 2\right],t\left[ 1\right] ,t\left[ 3\right] \right\}}\)
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
A co to znaczy?Harry_123 pisze: \(\displaystyle{ ker = \left\{ \left[ 1 \right],s\left[ 2\right],t\left[ 1\right] ,t\left[ 3\right] \right\}}\)
Po dokonaniu takiej parametryzacji jak napisałem otrzymujesz wektor \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(-2s-3t,s,t,t)}\). Czyli każdy wektor z jądra jest właśnie takiej postaci. Wobec tego jakie wektory rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ \ker A}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 23 maja 2018, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
\(\displaystyle{ \left[ \frac{-3}{2}t,\frac{-3}{2}t,t,t\right]
\\
czyli
\left[ \frac{-3}{2},\frac{-3}{2},1,1\right]}\)
Zgadza się?
\\
czyli
\left[ \frac{-3}{2},\frac{-3}{2},1,1\right]}\)
Zgadza się?
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Nie, bez sensu. Może napisz po kolei krok po kroku skąd to się wzięło, to będzie mi łatwiej pokazać, co zrobiłeś źle.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 23 maja 2018, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
\(\displaystyle{ -2s = 3t \\ s = \frac{-3}{2}t}\)
czyli jednak \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{-3}{2}t,t,t \right]}\) więc wyciągnąłem \(\displaystyle{ t}\) i mi wyszło:
\(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{-3}{2},1,1 \right]}\)
czyli jednak \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{-3}{2}t,t,t \right]}\) więc wyciągnąłem \(\displaystyle{ t}\) i mi wyszło:
\(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{-3}{2},1,1 \right]}\)
Ostatnio zmieniony 17 sty 2019, o 00:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Co oznacza ten fragment? Po co to przekształcasz? Napisałem jaka jest postać dowolnego wektora z jądra. Jakie wektory generują jądro? Podpowiem, że będą dwa.Harry_123 pisze:\(\displaystyle{ -2s = 3t \\ s = \frac{-3}{2}t}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 23 maja 2018, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Re: Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Wektory \(\displaystyle{ \left[-3,0,1,1 \right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ -2,1,0,0\right].}\)
Ostatnio zmieniony 19 sty 2019, o 19:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
Zgadza się. No i to właśnie jest baza jądra.
To teraz obraz. Obraz jest generowany przez kolumny tej macierzy, zatem należy znaleźć maksymalny układ liniowo niezależnych kolumn.
To teraz obraz. Obraz jest generowany przez kolumny tej macierzy, zatem należy znaleźć maksymalny układ liniowo niezależnych kolumn.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 23 maja 2018, o 19:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Wyznaczyć jądro i obraz macierzy
obraz to : \(\displaystyle{ \left[ 1, 2,3,1 \right], \left[ 0, -1,-2,1 \right]}\) ?