Diagonalizacja macierzy

[grenda1999]

Czy każda macierz \(\displaystyle{ {A\in \CC^{n\times n}}}\) spełniająca równanie \(\displaystyle{ (A-I)^{2}(A+2I)=0}\) jest diagonalizowalna? Odpowiedź uzasadnij.

[leg14]

Spróbuj może (nie wiem cyz to coś da) rozłożyć \(\displaystyle{ A}\) na macierz Jpordana tzn
\(\displaystyle{ A = P C P^{-1}}\).

Wówczas
\(\displaystyle{ (A-I)^{2}(A+2I) = P(C -I)^2 P^{-1} P(C +2I) P^{-1}}\)
Zatem musi zachodzić \(\displaystyle{ (C -I)^2 (C +2I) = 0}\).

Macierze Jordana się łatwo mnoży, więc działaj dalej sam.

[grenda1999]

Próbowałem twierdzeniem cayleya-hamiltona ale też nie gra. Z tego twojego wyjdzie \(\displaystyle{ C^{3}-3C+2I=0}\) i w sumie nadal nie wiem jak to ruszyć. C może być dwiema klatkami 1 stopnia lub 1 klatką 2 stopnia zależy od tego czy \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna lub czegoś nie wiem

[leg14]

Właśnie o to chodzi, zebyś mi powiedział, czy równanie \(\displaystyle{ C^{3}-3C+2I=0}\) może być spełnione przez macierz Jordana, która nie jest diagonalna (hint : moim zdaniem jak najbardziej, ale nie liczyłem)

[Dasio11]

Czy każda macierz \(\displaystyle{ {A\in \CC^{n\times n}}}\) spełniająca równanie \(\displaystyle{ (A-I)^{2}(A+2I)=0}\) jest diagonalizowalna?

W tej postaci jest dużo łatwiej, bo czynnik postaci \(\displaystyle{ (A-\lambda I)^k}\) zeruje klatki Jordana odpowiadające wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) rozmiaru \(\displaystyle{ \le k}\). Widać więc, że dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) można wstawić klatkę Jordana rozmiaru \(\displaystyle{ 2}\) i równanie będzie spełnione, a macierz nie będzie diagonalizowalna, np.

\(\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\)

[grenda1999]

Dziękuje za pomoc