Odwrócenie macierzy

[Wobbuffet25]

Hej
Za tydzień mam kolokwium z matematyki więc powoli zaczynam przygotowania.
Rozwiązując przykładowy zestaw pytań natknąłem się na zadanie które na pierwszy rzut oka wyglądało na bardzo łatwe. Niestety rozwiązałem je tylko do pewnego momentu i potem wszystko stanęło.

Poleceniem jest odwrócić macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&x\end{array}\right]}\)

Postanowiłem zrobić to zadanie metodą Gaussa Jordana ponieważ metodą wyznaczników zajęłoby to zdecydowanie za dużo czasu. Po dodaniu macierzy jednostkowej i dokonaniu odpowiednich przekształceń dotarłem do następującej macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccccc}1&0&0&0&1&-2&1&0\\0&1&0&-1&0&1&-2&0\\0&0&1&2&0&0&1&0\\0&0&0&x&0&0&0&1\end{array}\right]}\)

I niestety nie wiem jak dalej dokonywać tych przekształceń, ponieważ x wszystko psuje, nie odejmę go od 1 lub 2 tak żeby dały 0.

Co mam zrobić w tej sytuacji? Czy może macierz ta jest nieodwracalna?

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[Jan Kraszewski]

Czy może macierz ta jest nieodwracalna?

Jak nietrudno zauważyć, jej wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ x}\), więc jeśli \(\displaystyle{ x\ne 0}\), to jest odwracalna.

JK

[a4karo]

Skoro możesz odjąć wiersz \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ 62}\) razy, to czemu nie chcesz odjąć \(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) razy?


A najprościej jest rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&x\end{array}\right]\begin{bmatrix}v\\y\\z\\t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d \end{bmatrix}}\)


EDIT: zamieniłem \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ v}\), bo jak słusznie zauważył JK, był konflikt oznaczeń

[Jan Kraszewski]

A najprościej jest rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&\red x\black\end{array}\right]\begin{bmatrix}\red x\black\\y\\z\\t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d \end{bmatrix}}\)

Czy to ta sama literka?

JK

[Wobbuffet25]

[

Jak nietrudno zauważyć, jej wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ x}\)

Właśnie trochę trudno, ponieważ macierz jest stopnia 4 i nie można używać reguły Sarrusa.

Skoro możesz odjąć wiersz \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ 62}\) razy, to czemu nie chcesz odjąć \(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) razy?


A najprościej jest rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&x\end{array}\right]\begin{bmatrix}v\\y\\z\\t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d \end{bmatrix}}\)

Tylko że odejmując \(\displaystyle{ 2- \frac{2}{x}}\) nie otrzymam zera, podobnie z 1, natomiast co do równania nie mieliśmy jeszcze czegoś takiego, więc wątpię żeby na tym miało to polegać...

Ale cóż, dzięki za pomoc, mogę liczyć na to że na prawdziwym kolokwium takiego zadania nie będzie

[Jan Kraszewski]

Jak nietrudno zauważyć, jej wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ x}\)

Właśnie trochę trudno, ponieważ macierz jest stopnia 4 i nie można używać reguły Sarrusa.

A co ma do tego reguła Sarrusa? Przecież to jest macierz górnotrójkątna, więc jej wyznacznik to iloczyn wyrazów na przekątnej.

JK

[a4karo]

Skoro możesz odjąć wiersz \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 5}\), \(\displaystyle{ 62}\) razy, to czemu nie chcesz odjąć \(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) razy?

A najprościej jest rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&x\end{array}\right]\begin{bmatrix}v\\y\\z\\t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d \end{bmatrix}}\)

Tylko że odejmując \(\displaystyle{ 2- \frac{2}{x}}\) nie otrzymam zera, podobnie z 1, natomiast co do równania nie mieliśmy jeszcze czegoś takiego, więc wątpię żeby na tym miało to polegać...

Ale cóż, dzięki za pomoc, mogę liczyć na to że na prawdziwym kolokwium takiego zadania nie będzie

A zobacz co sie stanie gdy od trzeciego wiersza odejmiesz czwarty pomnożony przez \(\displaystyle{ 2/x}\)?