Przestrzeń liniowa - dowód

[camillus25]

Niech \(\displaystyle{ x, y}\) będą wektorami przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \CC^{n}}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\) i \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \CC}\). Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \alpha x + \beta y = \beta x + \alpha y \Leftrightarrow \alpha = \beta \vee x=y}\)

[Kordyt]

Jakieś próby rozwiązania tego zadania czyniłeś ?
Aby wykazać implikacje \(\displaystyle{ "\Rightarrow "}\) nalezy odpowiednio poprzenosic elementy a nastepnie skorzystac z rozdzielnosci mnożenia wzgledem dodawania (bo takowa istnieje w przestrzeni liniowej).
Implikacja przeciwna jest trywialna.
Pokaż do czego doszedleś.

[camillus25]

To mam na razie tylko tą implikacje \(\displaystyle{ \Rightarrow}\):

\(\displaystyle{ \alpha x + \beta y = \beta x + \alpha y \Rightarrow (\alpha - \beta)x + (\beta - \alpha )y = 0 \Leftrightarrow \alpha = \beta}\)

\(\displaystyle{ \alpha x + \beta y = \beta x + \alpha y \Rightarrow \alpha (x-y) \alpha + (y-x) \beta = 0 \Leftrightarrow x=y}\)

Zastanawiam się jak zrobić dowód w lewo?

[Janusz Tracz]

A nie łatwiej przekształcić \(\displaystyle{ \alpha x + \beta y = \beta x + \alpha y}\) na \(\displaystyle{ ( \alpha - \beta )(x-y)=0}\) stąd od razu mamy wynikanie \(\displaystyle{ \alpha = \beta \vee x=y}\). W lewo można rozpatrzeć trzy przypadki pierwszy jeśli tylko \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\) drugi jeśli tylko \(\displaystyle{ x=y}\) (choć to z symetrii wynika) i trzeci jeśli \(\displaystyle{ \alpha = \beta \wedge x=y}\)

[a4karo]

To mam na razie tylko tą implikacje \(\displaystyle{ \Rightarrow}\):

\(\displaystyle{ \alpha x + \beta y = \beta x + \alpha y \Rightarrow (\alpha - \beta)x + (\beta - \alpha )y = 0 {\red \Leftrightarrow }\alpha = \beta}\)

\(\displaystyle{ \alpha x + \beta y = \beta x + \alpha y \Rightarrow \alpha (x-y) \alpha + (y-x) \beta = 0 {\red \Leftrightarrow }x=y}\)

Zastanawiam się jak zrobić dowód w lewo?

Te równoważności ciężko będzie uzasadnić

[camillus25]

Janusz Tracz, Tylko nie za bardzo wiem jak to zapisać. Czy w \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) mam skorzystać z tego co mam podane po lewej stronie?

[Janusz Tracz]

Dowód w \(\displaystyle{ \left( \Leftarrow\right)}\) oznacza że możesz skorzystać z \(\displaystyle{ \alpha = \beta \vee x=y}\), to uznajesz za dane i wiadome. A masz pokazać, że zajdzie \(\displaystyle{ \alpha x + \beta y = \beta x + \alpha y}\) lub równoważnie \(\displaystyle{ ( \alpha - \beta )(x-y)=0}\). I dlatego proponuję zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\) to oczywiście \(\displaystyle{ ( \alpha - \beta )(x-y)=0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ x = y}\) to oczywiście \(\displaystyle{ ( \alpha - \beta )(x-y)=0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeśli \(\displaystyle{ \alpha = \beta \wedge x=y}\) to oczywiście \(\displaystyle{ ( \alpha - \beta )(x-y)=0}\)

Czyli ostatecznie zachodzi alternatywa tych warunków.

[camillus25]

Janusz Tracz, a nie wystarczy pokazać tylko dla warunku 1 i 2, bez uwzględniania koniunkcji?

[Janusz Tracz]

Ano wystarczy bo \(\displaystyle{ x \cdot 0=0}\) "czymkolwiek" jest \(\displaystyle{ x}\). Ale jakoś z rozpędu napisałem ten warunek. Tak naprawdę warunek pierwszy i drugi to to samo (wiem że \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ x}\) to dwie różne rzeczy), bo to jest symetryczne i polega tylko za zamianie literek.