Układ ortonormalny

[Percepton]

W przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ (X,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle)}\) dany jest układ ortonormalny \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3, u_4}\). Niech \(\displaystyle{ x = u_1 - 2u_2 + 4u_4}\), \(\displaystyle{ y= -u_1 + u_2 + u_3}\). Oblicz \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \left| x \right| \right|}\) , \(\displaystyle{ \left| \left| y \right| \right|}\)
i tu się pojawia moje pytanie - jak to właściwie ruszyć jeśli nie znam tego iloczynu skalarnego?

[Kordyt]

Odpowiedź: należy go poznać.

Iloczyn skalarny ma określoną definicję i własności: jakie ? Przytocz podstawowe.
Jak określamy normę mając iloczyn skalarny ?
Co to jest układ ortonormalny ?

Jeśli to napiszesz, to powiem co dalej.

[Percepton]

Iloczyn skalarny ma własności
\(\displaystyle{ \left\langle x,x \right\rangle > 0}\)
\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle = sprzezenie(\left\langle y,x\right\rangle )}\)
\(\displaystyle{ \left\langle x, \alpha y_1+ \beta y_2\right\rangle = \alpha \left\langle x,y_1\right\rangle + \beta \left\langle x,y_2\right\rangle}\)

norma to \(\displaystyle{ \sqrt{\left\langle x,x\right\rangle }}\)

układ ortonormalny jest wtedy gdy każde 2 wektory układu są prostopadłe i każdy wektor układu ma normę równą 1

[Kordyt]

Trzeci warunek jest błędny - \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) po prawej stronie równania powinno być sprzężone.

Generalnie zamiast wektorów \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) podstaw sobie kombinacje liniową wektorów \(\displaystyle{ u_i}\), następnie wykorzystaj półtoraliniowość iloczynu skalarnego tj:

\(\displaystyle{ \left\langle x+z,y\right\rangle=\left\langle x,y \right\rangle +\left\langle z,y\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ \left\langle x,y+z\right\rangle=\left\langle x,y \right\rangle +\left\langle x,z\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ \left\langle \alpha x,y\right\rangle=\alpha\left\langle x,y \right\rangle}\)

\(\displaystyle{ \left\langle x,\alpha y\right\rangle=\overline{\alpha}\left\langle x,y \right\rangle}\)

A więc z powyższych własności porozdzielaj sobie te wektory \(\displaystyle{ u_i}\) na oddzielne iloczyny skalarne i powyciągaj z iloczynów współczynniki liczbowe.

Podam przykład żeby było wiadomo o co chodzi:

\(\displaystyle{ \left\langle x+t,y+z\right\rangle=\left\langle x+t,y \right\rangle +\left\langle x+t,z\right\rangle =\left\langle x,y \right\rangle +\left\langle t,y \right\rangle +
\left\langle x,z \right\rangle +\left\langle t,z \right\rangle}\)

Na końcu dostaniesz iloczyny skalarne wektorów bazowych, a skoro to układ ortonormalny to jak będą wyglądały ich iloczyny skalarne ?

[Percepton]

przepraszam, ale naprawdę nie rozumiem jak to rozwiązać pomimo podanych przez ciebie wskazówek

[a4karo]

\(\displaystyle{ \langle u_1 - 2u_2 + 4u_4,-u_1 + u_2 + u_3\rangle = ?}\)

[Percepton]

\(\displaystyle{ -\left\langle u_1,u_1\right\rangle -2\left\langle u_2,u_2\right\rangle + 4 \left\langle u_3,u_3\right\rangle}\) ale co dalej z tym zrobić? Jak to świadczy o tym iloczynie?-- 2 sty 2019, o 19:20 --czy \(\displaystyle{ \left\langle x,y \right\rangle = 0}\)?

[a4karo]

A jak mnożysz \(\displaystyle{ (3+2-7)(2+10-3)}\)?

[Percepton]

proszę odpowiedź na pytanie, zależy mi na tym.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \left\langle x,y \right\rangle=4, ||x||=\sqrt{21}, ||y||=\sqrt{3}}\)

I jaką wiedzę zdobyłeś poznając odpowiedzi?

[Kordyt]

Percepton jak definiujemy układ ortonormalny za pomocą iloczynu skalarnego ?

Albo inaczej: ile wynosi iloczyn skalarny wektorów prostopadłych a ile tych samych wektorów ?