Jakie wartości może przyjmować wyznacznik

[VirtualUser]

Macierz \(\displaystyle{ A \in \CC^{n,n}}\) spełnia warunek:
a) \(\displaystyle{ AA^H= I_N}\)
b)\(\displaystyle{ A^k = I_n}\)
(to są dwa niezależne podpunkty)
Jakie wartości może przyjmować wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\)?
Nie mam zbytnio pomysłu jak to zrobić, będę bardzo wdzięczny za wszelkie wskazówki

[bartek118]

a)
Zauważ, że
\(\displaystyle{ \det (A A^H) = \det(I) = 1}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ \det (A A^H) = \det (A) \det (A^H)}\), więc....

b)
Z twierdzenia Cauchy'ego przez prostą indukcję mamy \(\displaystyle{ \det(A^k) = \det(A)^k}\), więc
\(\displaystyle{ \det(A)^k = \det(I) = 1}\)

[VirtualUser]

w a) \(\displaystyle{ \pm 1}\)
Dziękuję bardzo

[Dasio11]

Co to jest \(\displaystyle{ A^H}\)? Jeśli hermitowskie sprzężenie, czyli \(\displaystyle{ \overline{A}^{\top}}\), to niekoniecznie \(\displaystyle{ \pm 1}\).

[VirtualUser]

nie? Dlaczego?

[Kordyt]

Czy w ciele liczb zespolonych tylko \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) podniesione do pewnych potęg dają \(\displaystyle{ 1}\) ?

[Dasio11]

Ile wynosi \(\displaystyle{ \det A^H}\) ?