Wyznacznik macierzy - inny wynik

[MichalProg]

Dzień dobry.

Mam taką macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&3&3&3\\0&1&1&3&3&0\\0&0&1&3&0&0\\0&0&3&1&0&0\\0&3&3&1&1&0\\3&3&3&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Mam obliczyć jej wyznacznik. Stosuję operacje:
1. \(\displaystyle{ w_1-w_2}\)
2. \(\displaystyle{ k_1-\frac{1}{3}k_6}\)
3. \(\displaystyle{ w_2-w_3}\)
4. \(\displaystyle{ k_2-\frac{1}{3}k_5}\)
\(\displaystyle{ k_3-\frac{1}{3}k_4}\)

I otrzymałem wynik 512 a powinienem -512. Ale teraz sprawdziłem, że nie otrzymałem macierzy trójkątnej, tylko jakby jej odwrócenie, więc, jako że macierz jest stopnia 6 to rozwinięcia Laplacea będą z minusami, więc jest ok. Dzięki

[Premislav]

Nie ma sprawy, zawsze możesz na nas liczyć.
xD

[Dasio11]

Powinno wyjść \(\displaystyle{ -576}\).

[Dilectus]

MichalProg, zawsze możesz sprawdzić w Excelu swoje liczenie wyznacznika.

[MichalProg]

Powinno wyjść \(\displaystyle{ -576}\).

Sprawdzałem online, powinno być \(\displaystyle{ (-1)^5 \cdot 512 = -512}\).

Po prostu otrzymałem macierz, która, jak myślałem, nazywa sie trójkątna, a w rzeczywistości taka inna macierz, z zerami nad drugą przekątną. Iloczyn składników na przekątnej (tej innej) to \(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0&3\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&\frac{8}{3}&1&0&0\\0&\frac{8}{3}&\frac{8}{3}&1&1&0\\\frac{8}{3}&\frac{8}{3}&\frac{8}{3}&1&1&1\end{bmatrix} = -512}\), ale macierz jest 6 stopnia, więc będzie posiadać 5 rozwinięć Laplace'a z których każde będzie mieć nieparzysty wykładnik przy \(\displaystyle{ -1}\). więc \(\displaystyle{ (-1)^5 \cdot 512 = -512}\)

A żeby być ścisłym, to po wykonaniu podanych przekształceń otrzymałem macierz (wyznacznik):

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0&3\\ 0&0&0&0&3&0\\ 0&0&0&3&0&0\\ 0&0&\frac{8}{3}&1&0&0\\ 0&\frac{8}{3}&\frac{8}{3}&1&1&0\\ \frac{8}{3}&\frac{8}{3}&\frac{8}{3}&1&1&1\end{bmatrix} = -512}\)

[Dasio11]

macierz jest 6 stopnia, więc będzie posiadać 5 rozwinięć La Placea z których każde będzie mieć nieparzysty wykładnik przy -1. więc \(\displaystyle{ (-1)^5 \cdot 512 = -512}\)

To chyba nie jest poprawne. Przy stosowaniu rozwinięcia Laplace'a dostajemy kolejno czynniki \(\displaystyle{ (-1)^5, (-1)^4, (-1)^3, (-1)^2, (-1)^1}\), co razem daje \(\displaystyle{ (-1)^{15} \cdot 512 = -512}\). Wynik się zgadza, ale metoda nie, o ile dobrze Cię rozumiem.

A żeby być ścisłym, to po wykonaniu podanych przekształceń otrzymałem macierz (wyznacznik):

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0&3\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&\frac{8}{3}&1&0&0\\0&\frac{8}{3}&\frac{8}{3}&1&1&0\\\frac{8}{3}&\frac{8}{3}&\frac{8}{3}&1&1&1\end{bmatrix} = -512}\)

A to w takim razie źle przepisałeś początkową macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&3&3&3\\0&1&1&3&3&0\\0&0&1&3&0&0\\0&0&3&1&0&0\\0&3&3&1&1&0\\3&3&3&\red 0&\red 0&\red 0\end{bmatrix}}\)

- w czerwonych miejscach powinny stać jedynki.

[MichalProg]

Tak, masz rację, źle przepisałem, bardzo przepraszam. Źle też to policzyłem, dzięki za naprostowanie.

PS. tak między Bogiem a prawdą, to będzie chyba jeszcze inaczej:

\(\displaystyle{ (-1)^{6 + 1} \cdot (-1)^{5 + 1}\cdot (-1)^{4 + 1}\cdot (-1)^{3 + 1}\cdot (-1)^{2 + 1}\cdot (-1)^{1 + 1}=\\(-1)^7\cdot (-1)^6\cdot (-1)^5\cdot (-1)^4\cdot (-1)^3\cdot (-1)^2=\\(-1)^{27}}\)

[Dasio11]

Czynnik \(\displaystyle{ (-1)^{1+1}}\) musiałby pochodzić od rozwinięcia Laplace'a zastosowanego do macierzy \(\displaystyle{ 1 \times 1}\):

\(\displaystyle{ \det \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix} = (-1)^{1+1} \cdot 3 \cdot \det \begin{pmatrix} \mbox{} \end{pmatrix} = 3}\),

co ma wprawdzie trochę sensu, ale ja wolałem się w tym momencie zatrzymać i za wyznacznik macierzy po lewej stronie wziąć jej jedyny wyraz. Do tego przy liczeniu wyznacznika wolę numerować kolumny i wiersze od \(\displaystyle{ 0}\) (co jest, przyznaję, niestandardowe, choć nie wpływa na wynik), stąd wyszło mi tak jak napisałem w poprzednim poście. Twoja metoda też jest poprawna.