Podprzestrzeń liniowa

[Pawel5656]

Treść zadania:
Sprawdzić,czy wektory \(\displaystyle{ v_{1}}\) i \(\displaystyle{ v_{2}}\) są liniowo niezależne. Jeśli są, to uzasadnić, że stanowią one bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) i wyrazić każdy z wektorów: \(\displaystyle{ e_{1}=[1,0]}\) i \(\displaystyle{ e_{2}=[0,1]}\) jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ v_{1}}\) i \(\displaystyle{ v_{2}}\) o współczynnikach z \(\displaystyle{ \RR}\). Jeśli \(\displaystyle{ v_{1}}\) i \(\displaystyle{ v_{2}}\) nie są liniowo zależne,to opisać podprzestrzeń generowaną przez te wektory.

W tym zadaniu udowodniłem liniową niezależność tych wektorów i sprawdziłem, czy każdy wektor z \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) można zapisać jako kombinację tych wektorów(czyli udowodniłem,że są bazą w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) ). Zrobiłem też kombinację liniową dla wektorów \(\displaystyle{ e_{1}}\) i \(\displaystyle{ e_{2}}\). Nie rozumiem tylko tego ostatniego zdania. Skoro udowodniłem że generują one całą przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), to jak mam jeszcze z nich wyznaczyć podprzestrzeń?

[Rafsaf]

Pewnie chodziło o podprzestrzeń jeśli nie są lnz, bo jeśli nie są lz, no to znowu \(\displaystyle{ \RR^2}\) będzie

Tylko czegoś tu nie kumam, udowodniłeś że jakieś wektory są lnz, a tu w treści żadnych konkretnych nie ma, pominąłeś kawałek zadania czy co właściwie udowodniłeś bo nie wiem.

[Pawel5656]

Racja. Już je podaję. Nie wiem czemu je pominąłem: \(\displaystyle{ v_1=[4,-1]}\) i \(\displaystyle{ v_2=[-1,2]}\)

[Rafsaf]

To jak to wszystko zrobiłeś, to wystarczy chyba zastanowić się co generują kombinacje liniowe dwóch liniowo zależnych wektorów w \(\displaystyle{ \RR^2}\) (w treści jest o znowu o dwóch lnz wektorach ale jak napisałem wyżej mam przekonanie graniczące z pewnością że docelowo chodziło o lz wektory)

[Pawel5656]

Jeśli dwa wektory są liniowo zależne, to można jeden z nich uzyskać po wymnożeniu drugiego wektora przez skalar i oba wektory są wzajemnie równoległe. Więc kombinacja liniowa takich wektorów będzie tak naprawdę kombinacją pojedynczego wektora,czyli będzie generować prostą w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\)

Chociaż wydaje mi się, że masz rację co do ostatniego zdania i tak naprawdę skoro udowodniłem liniową niezależność \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\), to nie muszę już wykonywać tego ostatniego polecenia.