W \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\) dana jest podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) wymiaru \(\displaystyle{ n-1}\) i wektor \(\displaystyle{ w \in X}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ X = V \triangle span(w)}\) wtw gdy \(\displaystyle{ w \notin V}\)
\(\displaystyle{ \triangle}\) to suma prosta
( \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) )
skoro \(\displaystyle{ X = V \triangle span(w)}\) to \(\displaystyle{ V \cap span(w) = \left\{ 0\right\}}\) więc \(\displaystyle{ w \notin V}\)
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) - i tutaj mam problem
Rozważmy dowolny \(\displaystyle{ k \in span(w)}\) i \(\displaystyle{ k \neq 0}\)
Aby móc wgl mówić o sumie prostej to \(\displaystyle{ k \notin V}\). Ale czy tak na pewno jest? Jak dokończyć dowód w tę stronę?
Dowód z podprzestrzeniami
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Dowód z podprzestrzeniami
Co do dowodu w prawo, oczywiście założenie, że \(\displaystyle{ \dim V < \dim X}\) jest istotne
Po prostu. Co by się działo, gdyby \(\displaystyle{ w \in V}\). Czy wtedy \(\displaystyle{ V \oplus span(w) =X}\) może w ogóle zajść?
Po prostu. Co by się działo, gdyby \(\displaystyle{ w \in V}\). Czy wtedy \(\displaystyle{ V \oplus span(w) =X}\) może w ogóle zajść?