Dowód z podprzestrzeniami

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Leakof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 14 paź 2018, o 12:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 41 razy

Dowód z podprzestrzeniami

Post autor: Leakof »

W \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\) dana jest podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) wymiaru \(\displaystyle{ n-1}\) i wektor \(\displaystyle{ w \in X}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ X = V \triangle span(w)}\) wtw gdy \(\displaystyle{ w \notin V}\)

\(\displaystyle{ \triangle}\) to suma prosta

( \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) )
skoro \(\displaystyle{ X = V \triangle span(w)}\) to \(\displaystyle{ V \cap span(w) = \left\{ 0\right\}}\) więc \(\displaystyle{ w \notin V}\)
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) - i tutaj mam problem
Rozważmy dowolny \(\displaystyle{ k \in span(w)}\) i \(\displaystyle{ k \neq 0}\)
Aby móc wgl mówić o sumie prostej to \(\displaystyle{ k \notin V}\). Ale czy tak na pewno jest? Jak dokończyć dowód w tę stronę?
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Dowód z podprzestrzeniami

Post autor: PoweredDragon »

Co do dowodu w prawo, oczywiście założenie, że \(\displaystyle{ \dim V < \dim X}\) jest istotne

Po prostu. Co by się działo, gdyby \(\displaystyle{ w \in V}\). Czy wtedy \(\displaystyle{ V \oplus span(w) =X}\) może w ogóle zajść?
ODPOWIEDZ