Przekształcenie liniowe, funkcje ciągłe i całka

[Zaratustra]

Zadanie:
Rozpatrzmy przestrzeń, w której wektorami są funkcje ciągłe w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\).
Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie funkcją ciągłą określoną na kwadracie \(\displaystyle{ [0,1]\times [0,1]}\).
Określmy odwzorowanie w następujący sposób.
\(\displaystyle{ g[f](t)=\int_0^1 k(t, s)f(s){\rm d}s}\).
Wykazać, że odwzorowanie to jest przekształceniem liniowym.

Chyba powinno być łatwe, ale jestem odrobinę zmieszany zapisem...
Jak rozumiem jest \(\displaystyle{ g\colon C[0,1]\times [0,1] \to \mathbb{R}}\) (ze względu na dziedzinę \(\displaystyle{ k}\)), \(\displaystyle{ f}\) pod całką jest ciągłe (bo to argument \(\displaystyle{ g}\) czyli z def. należy do funkcji ciągłych na \(\displaystyle{ [0,1]}\).

Przez chwilę miałem wątpliwości co tu nawet brać za skalar
\(\displaystyle{ C[0,1]\times [0,1]}\) na którym \(\displaystyle{ g}\) jest określone to prz. liniowa, tak? Jako produkt prz. funkcji ciągłych na tym przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) nad tym przedziałem i tego przedziału nad samym sobą? To jest przestrzeń nad \(\displaystyle{ [0,1]\times [0,1]}\)?
I zbiór wartości \(\displaystyle{ g}\) to druga prz. liniowa (\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nad samym sobą) - wynik całkowania?

Spróbuję jeden warunek z definicji przekształcenia liniowego sprawdzić:
Czyli jak wezmę \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]\times [0,1]}\) to mogę mnożyć go przez \(\displaystyle{ g}\)? Jak to powinno wyglądać?
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest tak naprawdę parą uporządkowaną, jak tu jakieś mnożenie przeprowadzać? Zresztą tak na chama traktując jako stałą (pomijając pośrednie rachunki):
\(\displaystyle{ \alpha\cdot g[f](t)=\alpha\cdot g(f,t)=\int_0^1 (\alpha (k(t, s)f(s))){\rm d}s = g[\alpha (f,t)]}\)
i teraz \(\displaystyle{ \alpha f}\) jest f. ciągłą oraz \(\displaystyle{ \alpha t \in [0,1]}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha (f,t)=(\alpha f, \alpha t)}\) należy do dziedziny \(\displaystyle{ g}\)?
Zmiana zapisu tej funkcji na \(\displaystyle{ g(f,t)}\) jest akceptowalna(pamiętając czym się różni \(\displaystyle{ f}\) od \(\displaystyle{ t}\)? Bo chyba zapis mi miesza w głowie po prostu

[a4karo]

Nie. \(\displaystyle{ g}\) jest odwzorowaniem z \(\displaystyle{ C([0,1])}\) w przestrzeń funkcji określonych na \(\displaystyle{ [0,1]}\).

Argumentem przekształcenia \(\displaystyle{ g}\) jest funkcja \(\displaystyle{ f}\), a wartością przekształcenia jest funkcją (oznaczona jako \(\displaystyle{ g[f]}\), której wartość w punkcie \(\displaystyle{ t}\) dana jest powyższym wzorkiem.

Skalarami są liczny rzeczywiste.

Żeby pokazać liniowość powinieneś pokazać równość \(\displaystyle{ g[\alpha p+\beta q] =\alpha g[p] +\beta g[q]}\).

Zauważ, że \(\displaystyle{ \alpha p}\) i \(\displaystyle{ \beta q}\) są funkcjami tak samo jak \(\displaystyle{ \alpha g[q]}\) i \(\displaystyle{ \beta g[q]}\).
Pamiętaj, że dwie funkcje są równe gdy ich wartości w każdym punkcie są równe

[Zaratustra]

Hmmm...
No to niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f_1,f_2\in C[0,1]}\).
\(\displaystyle{ g[\alpha f_1 + \beta f_2](t) = \int_0^1 k(s,t)\left(\alpha f_1 + \beta f_2\right)(s){\rm d}s=}\)
\(\displaystyle{ =\int_0^1 k(s,t)\left( \alpha f_1(s) + \beta f_2(s) \right){\rm d}s=}\)(addytywność całki i wyłączenie stałej przed znak całki)
\(\displaystyle{ =\alpha \int_0^1 k(s,t) f_1(s) {\rm d}s + \beta \int_0^1 k(s,t) f_2(s) {\rm d}s =}\)
\(\displaystyle{ =\alpha g[f_1](t)+\beta g[f_2](t)}\)
Czyli tak "po prostu" rachunki i własności całki a \(\displaystyle{ k}\) jest dla zmyłki czy jeszcze czegoś nie ogarnąłem?

( \(\displaystyle{ \left(\alpha f_1 + \beta f_2\right)(x)=\alpha f_1(x) + \beta f_2(x)}\) z definicji :/ Nie wiem co jeszcze dodać )

[a4karo]

To nie jest dla zmylki. Bardzo wiele bardzo ważnych operatorów liniowych definiuje się przy pomocy takich funkcji

[Zaratustra]

To nie jest dla zmylki. Bardzo wiele bardzo ważnych operatorów liniowych definiuje się przy pomocy takich funkcji

A to też jest sztuczka twórców zbiorów - coś po drodze pokazać, aby się opatrzyło czytelnikowi. Ale jeśli zrobiłem dobrze to znaczy, że tutaj nie wpływa zbytnio na przebieg rozwiązywania.
Ale mam nadzieję w takim razie, że kiedyś się z takim ważnymi rzeczami zapoznam
Ech. Dzięki w każdym razie.