Rozwiązać układ równań metodą macierzy ortogonalnych
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\2x+y=1\\x+2y+z=2\end{array}}\)
Mógłby mi ktoś pomóc z tym zadaniem? Wiem czym jest macierz ortogonalna, wiem jakie są jej własności ale za nic nie potrafię wykorzystać tego przy rozwiązywaniu układów równań tą metodą. Z góry dziękuję za wszystkie wskazówki. Pozdrawiam
Metoda macierzy ortogonalnych
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Metoda macierzy ortogonalnych
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}{ 1&-1&0\\ 2&1&0\\ 1&2&1\end{bmatrix}= [a^{(1)}, a^{(2)}, a^{(3)}].}\)
\(\displaystyle{ R = [r^{(1)}, r^{(2)}, r^{(3)}]}\)
\(\displaystyle{ r^{(1)}= a^{(1)} = \begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}.}\)
\(\displaystyle{ r^{(2)} = t_{12}\cdot r^{(1)}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ t_{12} = \frac{(a^{(2)}^{T}| r^{(1)})}{(r^{(1)}| r^{(1)})} = \frac{[ -1, 1, 2 ]\cdot \begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}}{ 1^2+2^2 + 1^2}= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ r^{(2)}= \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-1\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\0 \end{bmatrix}.}\)
\(\displaystyle{ r^{(3)}= a^{(3)} - t_{13}\cdot r^{(1)} - t_{23}\cdot r^{(2)} \ \ (1)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ t_{13}= \frac{(a^{(3)}^{T}| r^{(1)})}{(r^{(1)}| r^{(1)})} \ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ t_{23} = \frac{(a^{(3)}^{T}| r^{(2)})}{(r^{(2)}| r^{(2)})} \ \ (3)}\)
Proszę obliczyć współczynniki \(\displaystyle{ (2), (3).}\)
Z równania \(\displaystyle{ (1)}\) - znaleźć trzecią kolumnę \(\displaystyle{ r^{(3)}}\) macierzy ortogonalnej \(\displaystyle{ R.}\)
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ R \cdot T \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{bmatrix}}\)
gdzie macierz \(\displaystyle{ T}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&t_{12{&t_{13}\\ 0&1&t_{23}\\ 0&0&1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ R = [r^{(1)}, r^{(2)}, r^{(3)}]}\)
\(\displaystyle{ r^{(1)}= a^{(1)} = \begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}.}\)
\(\displaystyle{ r^{(2)} = t_{12}\cdot r^{(1)}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ t_{12} = \frac{(a^{(2)}^{T}| r^{(1)})}{(r^{(1)}| r^{(1)})} = \frac{[ -1, 1, 2 ]\cdot \begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}}{ 1^2+2^2 + 1^2}= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ r^{(2)}= \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-1\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\0 \end{bmatrix}.}\)
\(\displaystyle{ r^{(3)}= a^{(3)} - t_{13}\cdot r^{(1)} - t_{23}\cdot r^{(2)} \ \ (1)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ t_{13}= \frac{(a^{(3)}^{T}| r^{(1)})}{(r^{(1)}| r^{(1)})} \ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ t_{23} = \frac{(a^{(3)}^{T}| r^{(2)})}{(r^{(2)}| r^{(2)})} \ \ (3)}\)
Proszę obliczyć współczynniki \(\displaystyle{ (2), (3).}\)
Z równania \(\displaystyle{ (1)}\) - znaleźć trzecią kolumnę \(\displaystyle{ r^{(3)}}\) macierzy ortogonalnej \(\displaystyle{ R.}\)
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ R \cdot T \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{bmatrix}}\)
gdzie macierz \(\displaystyle{ T}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&t_{12{&t_{13}\\ 0&1&t_{23}\\ 0&0&1 \end{bmatrix}}\)