Oblicz objętość wielościanów

[Karolkowicz]

a) równoległościan rozpięty na wektorach \(\displaystyle{ u = (0, 0, 1), v = (−1, 2, 3),
w = (2, 5, −1)}\)
b) czworościan rozpięty na wektorach \(\displaystyle{ u = (1, 1, 1), v = (1, −1, 0),
w = (−1, 3, −2)}\)
c) czworościan o wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3),
C = (2, 3, −1), D = (−1, 3, 5)}\)

[janusz47]

a)

\(\displaystyle{ V_{a} = |\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{v})| = |det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}|.}\)

b)

\(\displaystyle{ V_{b} = \frac{1}{6}|\vec{u}\cdot ( \vec{v}\times \vec{v})| =\frac{1}{6} |det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}|.}\)

c)

Obliczamy współrzędne wektorów: \(\displaystyle{ \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}}\)

\(\displaystyle{ V_{c} = \frac{1}{6}|\vec{AD}\cdot (\vec{AB}\times \vec{AC})| =\frac{1}{6} |det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}|.}\)