Dzień dobry, czy mógłby ktoś podać macierze przekształceń afinicznych w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\):
1) symetria względem prostej \(\displaystyle{ 2x+5y=0}\),
2) rzut na prostą \(\displaystyle{ 3x+4y=0}\).
Oraz podać wartości i wektory własne tych przekształceń?
Ogarnales prawie wszystkie obroty, jednokladnosci, powinowactwa itp. poza tymi.
Proszę o nie pisanie "pomysł o" czy "zastanów się nad", ponieważ siedzę nad tym tydzień prawie i nie ogarniam
Przekształcenia afiniczne i liniowe
-
mazurek123
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 23 gru 2018, o 19:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrowiec Świętokrzyski
Przekształcenia afiniczne i liniowe
Ostatnio zmieniony 30 gru 2018, o 23:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Przekształcenia afiniczne i liniowe
1)
Metoda geometryczna
Zakładamy, że punkt \(\displaystyle{ A'(x', y')}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ A (x,y)}\) w symetrii względem prostej \(\displaystyle{ y = a x, \ \ a=-\frac{2}{5}.}\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) jako środek odcinka ma współrzędne \(\displaystyle{ B\left( \frac{x +x'}{2}, \frac{y+y'}{2}\right)}\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) należy równocześnie do prostej \(\displaystyle{ y = ax,}\) więc spełnia równanie tej prostej:
\(\displaystyle{ \frac{y +y'}{2} = a \frac{x +x'}{2}, \ \ y+y' = a(x+x') \ \ (1)}\)
Zauważmy, że wektor \(\displaystyle{ \vec{AA'} = [x' -x, y' -y ]}\) jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej \(\displaystyle{ [1, a],}\) a to oznacza, że ich iloczyn skalarny jest równy zeru:
\(\displaystyle{ x - x' +a(y' - y ) = 0 \ \ (2)}\)
Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2)}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x' = \frac{x(1-a^2)}{1+a^2} \ \ (3)}\)
\(\displaystyle{ y' = \frac{2ax}{1+a^2} + \frac{y(a^2-1)}{1+a^2} \ \ (4)}\)
Równania \(\displaystyle{ (3), (4)}\) możemy zapisać w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix} =\frac{1}{1+a^2}\begin{bmatrix}1-a^2&2a\\2a&a^2-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\)
Proszę podstawić do macierzy \(\displaystyle{ A}\) tego układu \(\displaystyle{ a = -\frac{2}{5}}\) i znaleźć wartości i wektory własne tej macierzy.
2)
W podobny sposób.
Rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y' = ax \\ x - x' + a(y'- y) =0 \end{cases}}\)
Zapisujemy w postaci macierzowej.
Znajdujemy wartości i wektory własne macierzy układu.
Metoda geometryczna
Zakładamy, że punkt \(\displaystyle{ A'(x', y')}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ A (x,y)}\) w symetrii względem prostej \(\displaystyle{ y = a x, \ \ a=-\frac{2}{5}.}\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) jako środek odcinka ma współrzędne \(\displaystyle{ B\left( \frac{x +x'}{2}, \frac{y+y'}{2}\right)}\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) należy równocześnie do prostej \(\displaystyle{ y = ax,}\) więc spełnia równanie tej prostej:
\(\displaystyle{ \frac{y +y'}{2} = a \frac{x +x'}{2}, \ \ y+y' = a(x+x') \ \ (1)}\)
Zauważmy, że wektor \(\displaystyle{ \vec{AA'} = [x' -x, y' -y ]}\) jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej \(\displaystyle{ [1, a],}\) a to oznacza, że ich iloczyn skalarny jest równy zeru:
\(\displaystyle{ x - x' +a(y' - y ) = 0 \ \ (2)}\)
Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2)}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x' = \frac{x(1-a^2)}{1+a^2} \ \ (3)}\)
\(\displaystyle{ y' = \frac{2ax}{1+a^2} + \frac{y(a^2-1)}{1+a^2} \ \ (4)}\)
Równania \(\displaystyle{ (3), (4)}\) możemy zapisać w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix} =\frac{1}{1+a^2}\begin{bmatrix}1-a^2&2a\\2a&a^2-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\)
Proszę podstawić do macierzy \(\displaystyle{ A}\) tego układu \(\displaystyle{ a = -\frac{2}{5}}\) i znaleźć wartości i wektory własne tej macierzy.
2)
W podobny sposób.
Rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y' = ax \\ x - x' + a(y'- y) =0 \end{cases}}\)
Zapisujemy w postaci macierzowej.
Znajdujemy wartości i wektory własne macierzy układu.