Promień spektralny

[alkiii123]

Skoro \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_{2}=-2}\) to wówczas promień spektralny macierzy \(\displaystyle{ A}\) czyli \(\displaystyle{ p(A)=2}\). Jaka jest wówczas krotność algebraczna promienia spektralnego \(\displaystyle{ 1}\) czy \(\displaystyle{ 2}\)?

[bartek118]

Nie ma czegoś takiego jak krotność promienia spektralnego. Co do krotności algebraicznej poszczególnych wartości własnych, to zależy od tego jak wygląda wielomian/macierz (m. in. jej wymiar).

[alkiii123]

W twierdzeniu Frobeniusa Perrona jest do sprawdzenia warunek ze krostnosc algberaiczna promienia spektralnego jest rowna 1, Wiec musi istnieć takie pojecie

[pawlo392]

Chodzi o to, iż ten promień spektralny jest wartością własna i sprawdzamy krotność tej wartości własnej.

[alkiii123]

Okey czyli w tw Frobeniusa-Perona jesli mam np \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\) jako wartosci własne. Promien spektralny jest równy \(\displaystyle{ 1}\) to krotność jest równa \(\displaystyle{ 1}\) tak? Bo jest równy watosci własnej \(\displaystyle{ 2}\) o to chodzi? A jesli np jesli byłoby \(\displaystyle{ 2}\)-krotnosci \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\) to promien spektralny byłby krotnosci \(\displaystyle{ 2}\)?

[pawlo392]

Promień spektralny nie jest równy 1 w tym konkretnym przypadku. Tak na początek. Zobacz jak wygląda wielomian charakterystyczny.

[alkiii123]

Jesli mam wielomian charakterystyczny :\(\displaystyle{ (\lambda -2 ) (\lambda +2)}\) to mam pierwistek \(\displaystyle{ 2}\) krotnosci \(\displaystyle{ 1}\) i pierwiastek \(\displaystyle{ -2}\) krotnosci \(\displaystyle{ 1}\). Promien spektralny jest równy \(\displaystyle{ 2}\) i jest równy wartosci własnej \(\displaystyle{ 2}\) wiec ma krotnosc \(\displaystyle{ 1}\) ?

[pawlo392]

Tak. Krotnością algebraiczną wartości własnej nazywamy jej krotność jako zera wielomianu charakterystycznego.