Przestrzeń funkcji liniowo niezależna

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Przestrzeń funkcji liniowo niezależna

Post autor: Unforg1ven »

Niech \(\displaystyle{ V := \mathbb{R}^T}\) będzie przestrzenią funkcji \(\displaystyle{ v : T \rightarrow R}\), gdzie \(\displaystyle{ T := \{-1, 0, 1, 2, 3\}.}\) Określmy wektory (czyli
funkcje) \(\displaystyle{ v_0, . . . , v_5 \in V}\) wzorami \(\displaystyle{ v_k(t) := t^k}\), \(\displaystyle{ t \in T, k \in \{0,1,2,3,4,5\}}\) w szczególności \(\displaystyle{ v_0 = \text{const} = 1}\). Dowieść, że:
(a) układ \(\displaystyle{ v_0, v_1, v_2, v_3, v_4}\) jest liniowo niezależny.
(b) \(\displaystyle{ v_5 \in \left\langle v_1, . . . , v_4 \right\rangle}\)

W przypadku a) mam pokazać że:
\(\displaystyle{ L=at^0+bt^1+ct^2+dt^3+et^4=0}\)
,to \(\displaystyle{ a=b=c=d=e=0}\) (*)
W przypadku \(\displaystyle{ t>0}\) to \(\displaystyle{ L>0}\), gdyby nie (*).
Teraz zastawia mnie co w przypadku, gdy \(\displaystyle{ t=0}\) i \(\displaystyle{ t=-1}\)
A w przypadku b) nie wiem jak do tego podejść.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Przestrzeń funkcji liniowo niezależna

Post autor: janusz47 »

Jeśli \(\displaystyle{ t=0}\) to \(\displaystyle{ L =0}\) dla dowolnych wartości \(\displaystyle{ a,b,c,d,e.}\)

Dla \(\displaystyle{ t = -1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a-b+c-d +e = 0}\) gdy \(\displaystyle{ a=b=c=d=e =0.}\)

b.
Przedstaw \(\displaystyle{ v_{5}}\) jako kombinację liniową \(\displaystyle{ (v_{1},v_{2},...,v_{4}).}\)
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Przestrzeń funkcji liniowo niezależna

Post autor: Unforg1ven »

Nie mam pomysłu jak ją przedstawić \(\displaystyle{ t^5}\) jako kombinacje liniową reszty.
Jakaś wskazówka?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Przestrzeń funkcji liniowo niezależna

Post autor: Dasio11 »

Lepiej jest zapisać \(\displaystyle{ v_1, \ldots, v_5}\) w standardowej bazie i popatrzeć na wyznacznik, a następnie skorzystać z podpunktu (a).

Natomiast w punkcie (a) też można liczyć wyznacznik i wychodzi klasyczny

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_Vandermonde%E2%80%99a
.
ODPOWIEDZ