przestrzenie liniowe z sinusami

[Papabile]

Hejka, mam taka prace domową:
"Niech \(\displaystyle{ v= \left\{ f \in \RR |\bigvee a,b \in \RR, f \left( x \right) =a\sin \left( x \right) +b\cos \left( x \right) \right\}}\)
1) Wykazać, że \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\).
[I tu pierwszy problem, jak to wykazać? Mam sprawdzić czy zachodzą wszystkie aksjomaty dla przestrzeni liniowych?]

2) Wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ c \in \RR}\) funkcja \(\displaystyle{ f _{c} \left( x \right) =\sin \left( x+c \right)}\) należy do \(\displaystyle{ V}\) [tu skorzystałem ze wzoru na \(\displaystyle{ sin left( x+c
ight) =sin left( x
ight) cos left( c
ight) +sin left( c
ight) cos left( x
ight)}\) i przyjąłem, że \(\displaystyle{ \cos \left( c \right) =a}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \left( c \right) =b}\) i koniec podpunktu. I pytanie, mogę tak zrobić?]

3) Wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ f \in V}\) istnieją \(\displaystyle{ c,d \in \RR}\), takie, że \(\displaystyle{ f \left( x \right) =df _{c} \left( x \right)}\) [I tu napisałem, że można wziąć \(\displaystyle{ c=0}\) oraz \(\displaystyle{ d= \frac{f \left( x \right) }{f _{0} \left( x \right) }}\) i wtedy obie strony są sobie równe więc sie zgadza, ale coś czuje że nie mogę uzależnić \(\displaystyle{ d}\) od \(\displaystyle{ x}\) ]

[Premislav]

1)

Mam sprawdzić czy zachodzą wszystkie aksjomaty dla przestrzeni liniowych?

no brawo, 10 punktów dla Gryffindoru.
2) OK.
3) No nie możesz. Wskazówka:
\(\displaystyle{ a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)}\)
Dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\) takich, że \(\displaystyle{ a^2+b^2>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ \xi \in \RR}\), że
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \xi, \ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \xi}\).
Potem zastosuj wzór na sinus sumy, tj. działa
\(\displaystyle{ d=\sqrt{a^2+b^2}, \ c=\xi}\).

[Jan Kraszewski]

"Niech \(\displaystyle{ V= \left\{ f \in \RR |\bigvee a,b \in \RR, f \left( x \right) =a\sin \left( x \right) +b\cos \left( x \right) \right\}}\)

Chyba raczej

\(\displaystyle{ V= \left\{ f \in \RR^{{\red \RR}}\ \bigg|\bigvee a,b \in \RR, f \left( x \right) =a\sin \left( x \right) +b\cos \left( x \right) \right\}}\)

1) Wykazać, że \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\).
[I tu pierwszy problem, jak to wykazać? Mam sprawdzić czy zachodzą wszystkie aksjomaty dla przestrzeni liniowych?]

To zależy od tego, co już wiesz. Czy wiesz, że \(\displaystyle{ \RR^\RR}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \RR}\) ? Jeśli tak, to wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią, czyli jest zamknięta na działania.

JK

[Papabile]

Czyli w 1. wystarczy napisać, że dla dowolnej liczby, nazwijmy ją \(\displaystyle{ g}\), takiej, że \(\displaystyle{ g \in \RR}\) zachodzi:\(\displaystyle{ \exists x,y}\) że spełnione jest \(\displaystyle{ f(x)+f(y)=g}\) i jest to równoważne z tym, że \(\displaystyle{ \exists a,b,c,d,x,y}\) że zachodzi \(\displaystyle{ a\sin \left( x \right) +b\cos \left( x \right) +c\sin \left( y \right) +d\cos \left( y \right) =g}\) i zauważam, że dla \(\displaystyle{ x=0, y=0, b=0, d=g, a,c}\)-dowolne zachodzi równość więc warunek spełniony? Tak samo ze skalarem, wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ k=1, x=0, b=g, a}\)-dowolne i warunek spełniony? Dobrze to zrozumiałem?

[Premislav]

Dobrze to zrozumiałem?

Niestety zupełnie niedobrze. Elementami Twojej podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\) są funkcje, jak dodasz dwie funkcje tego rodzaju, jak w treści zadania, też powinieneś otrzymać funkcję postaci \(\displaystyle{ a\sin x+b\cos x}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\), podobnie pomnożenie funkcji z \(\displaystyle{ V}\) przez dowolny skalar \(\displaystyle{ \alpha\in \RR}\) nie powinno Cię wyprowadzić poza \(\displaystyle{ V}\) (i jak sprawdzisz, to nie wyprowadza), to jest bardzo łatwe, jeśli wie się, co się robi. Tutaj wystąpiło jakieś pomieszanie z poplątaniem, odpocznij i wróć do tego jeszcze raz, na spokojnie.