Wektory i przestrzenie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
markerowsky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 20 gru 2018, o 21:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Internet

Wektory i przestrzenie liniowe

Post autor: markerowsky »

Witam, podczas robienia paru zadań z listy napotkałem problemy, nie jestem pewien czy idę w dobrą stronę. Prosiłbym o pomoc w postaci chociażby wskazówek, ew. rozwiązań. Załączam zadania poniżej.

1. Wyznacz współrzędne wektora \(\displaystyle{ v}\) w pewnej bazie przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\)

\(\displaystyle{ V = \left\{ \left[ x, y, z, t \right] : x - 2y + 3z + t = 3x - 5y + 4z + 4t=0\right\} , v = \left[ 5, 7, 2, 3 \right]}\)

Współrzędne wektora wyszły mi dokładnie jak \(\displaystyle{ v}\) powyżej, a to przez pomnożenie liczb przez zmienne \(\displaystyle{ x, y, z}\) oraz \(\displaystyle{ t}\). Znalazłem podobny przykład w internecie i bazowałem na nim, jednak myślę, że jest to błędne. Nie wiem jak skorzystać z tych równań znajdujacych po zmiennych w przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).


2. Wektory \(\displaystyle{ \left[1, 2, -1,1,3\right], \left[3,5,1,5,7\right], \left[3,2,7, s, -1\right]}\) tworzą bazę przestrzeni liniowej zawierającej wektor \(\displaystyle{ w= \left[4, 5, t,0,4\right]}\). Wyznacz wartości \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) oraz podaj współrzędne wektora \(\displaystyle{ w}\) w tej bazie.

W tym zadaniu wyszło mi pięć równań zawierających moje zmienne \(\displaystyle{ c _{1}, c _{2}, c _{3}}\) oraz zmienne \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\). Zmierzam w dobrym kierunku? Zaczęły wychodzić mi już ułamki w wynikach, dlatego wstrzymałem się na razie.

3. Wektory \(\displaystyle{ u, v, w}\) są liniowo niezależne. Zbadaj liniową niezależność wektorów:

\(\displaystyle{ u+2v-3w, u+5v-w, 2v-5w}\)

Tutaj zatrzymałem się na:

\(\displaystyle{ -2c _{3} = c _{1} \\
-3 c_{2} = -c _{1} \\
5c _{2} - 3c _{3} = 0}\)


Czy należy to dociągnąć w jakiś sposób aby wykazać, że wszystkie zmienne \(\displaystyle{ c}\) będą równe \(\displaystyle{ 0}\)?

Dziękuję za jakiekolwiek odpowiedzi.
Ostatnio zmieniony 20 gru 2018, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Wektory i przestrzenie liniowe

Post autor: janusz47 »

1.
Rozwiązujemy układ jednorodny opisujący podprzestrzeń \(\displaystyle{ V,}\) znajdując jego jej bazę.

Znajdujemy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) w tej bazie:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5\\7\\2\\3 \end{bmatrix}= \alpha \begin{bmatrix}-7\\5\\1\\0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} -3\\-1\\0\\1 \end{bmatrix}}\)

2.
Proszę rozpisać swoje rozwiązanie. Korzystamy z liniowej niezależności bazy i współrzędnych wektora w bazie.

3.
Z założenia:

\(\displaystyle{ (\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}+\gamma \vec{w} = 0 )\rightarrow (\alpha= \beta = \gamma =0)}\)

Tworzymy kombinację liniową:

\(\displaystyle{ \delta(\vec{u} +2\vec{v}-3\vec{w}) +\epsilon(\vec{u}+5\vec{v}- \vec{w}) +\gamma (0\vec{u} +2\vec{v} -5\vec{w})=\\}\)

\(\displaystyle{ =(\delta + \epsilon +0\cdot \gamma)\vec{u} + (2\delta +5\epsilon +2\gamma)\vec{v}+(-3\delta -\epsilon -5\gamma) \vec{w} = 0}\)
ODPOWIEDZ