Baza złożona z wektorów dodatnich

[MrCommando]

Niech \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Wektor \(\displaystyle{ (x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n}\) nazwiemy dodatnim, jeżeli \(\displaystyle{ x_i>0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\).
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), a \(\displaystyle{ v \in V}\) dowolnym wektorem dodatnim.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ V}\) ma bazę złożoną wyłącznie z wektorów dodatnich.

Teza faktycznie intuicyjnie wygląda na prawdziwą. Na pewno najmniejsza taka przestrzeń \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ span(v)}\) (wówczas zbiór złożony z wektora \(\displaystyle{ v}\) stanowiłby bazę). Z kolei w przypadku, gdy nasza przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) jest wymiaru większego niż \(\displaystyle{ 1}\), powiedzmy \(\displaystyle{ 2}\), to wtedy jej baza jest zbiorem dwuelementowym, na przykład złożonym z \(\displaystyle{ v}\) i jakiegoś \(\displaystyle{ w}\). "Na logikę", to za pomocą kombinacji liniowych tych wektorów, możemy utworzyć inną równoważną bazę złożoną z wektorów dodatnich (wystarczy wziąć odpowiednie współczynniki). Ale to tylko taka marna intuicja, w jaki sposób najlepiej formalnie to uzasadnić?

[Premislav]

Chyba nie do końca rozumiem treść zadania. Jaką rolę pełni tutaj wektor \(\displaystyle{ v}\)? Chodzi o to, że mamy udowodnić istnienie bazy, w której skład wchodzi ten wektor?

[Psiaczek]

bez tego założenia o dodatnim wektorze teza nie zachodzi, weźmy \(\displaystyle{ \RR^2}\) i podprzestrzeń \(\displaystyle{ y=-x}\) tam nie ma ani jednego wektora dodatniego

[Premislav]

A rzeczywiście, dzięki, Psiaczek.

No ale to w takim razie teza wydaje się tak trywialna, że szok. Ustalmy dowolną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) i niech \(\displaystyle{ k\ge 2}\) (dla \(\displaystyle{ k=1}\) teza jest oczywista, jak już wspomniano), wiemy, że wektor dodatni \(\displaystyle{ v}\) należy do \(\displaystyle{ V}\), niech \(\displaystyle{ v=\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\\ \ldots\\v_n\end{array}\right)}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ v}\) jest niezerowy, więc \(\displaystyle{ \left\{ v\right\}}\) możemy rozszerzyć do bazy \(\displaystyle{ V,}\) tj. istnieją takie wektory \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_{k-1}\in V}\), że
układ \(\displaystyle{ \left\{ v, a_1, \ldots a_{k-1}\right\}}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\).
Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ \min_{1\le i\le n}v_i=1}\) (jeśli tak nie jest, to możemy sobie wektor \(\displaystyle{ v}\) przeskalować).
Niech teraz \(\displaystyle{ b_i=\frac{1}{\|a_i\|}\cdot a_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1\ldots k-1}\),
gdzie \(\displaystyle{ \|a_i\|= \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2}}\);
wówczas \(\displaystyle{ (v, b_1+v, \ldots b_{k-1}+v)}\) też jest bazą \(\displaystyle{ V}\) (to trzeba pokazać, ale nie jest to trudne) i składa się wyłącznie z wektorów dodatnich.

[MrCommando]

Właśnie zastanawiam się, czy nie da się tego zrobić inaczej. To jest zadanie z kolokwium z algebry liniowej 1 sprzed dwóch lat. Co za tym idzie, ludzie piszący to na ogół nie mieli na zajęciach z algebry styczności z pojęciem normy. Na ćwiczeniach nie przerabialiśmy podobnych zadań i nie stosowaliśmy w ogóle pojęcia długości wektora. Więc zastanawiam się, czy może autorowi zadania chodziło o coś innego.

[Premislav]

To akurat nie jest istotne, żeby używać tu pojęcia normy; chodzi o to, że jak mamy już bazę
\(\displaystyle{ \left( v, a_1, \ldots a_{k-1}\right)}\) tej podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\), to przeskalujmy tak wektory \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_{k-1}}\), aby dalej (oczywiście) dostać bazę \(\displaystyle{ V}\), ale aby dla \(\displaystyle{ j=1\ldots k-1}\) na i-tej pozycji (\(\displaystyle{ i=1, 2\ldots n}\)) w wektorze \(\displaystyle{ b_j=a_j'}\) stała liczba mniejsza co do modułu niż \(\displaystyle{ v_i}\), ponieważ z założenia \(\displaystyle{ v_i>0}\), to wówczas na i-tej pozycji wektora \(\displaystyle{ v+b_i}\) będzie liczba dodatnia, i tak dla każdego \(\displaystyle{ i\in\left\{ 1\ldots n\right\}}\), czyli wektory postaci \(\displaystyle{ b_j+v}\) będą dodatnie.
Czyli każdy wektor spośród \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_{k-1}}\) dzielimy przez odpowiednio dużą liczbę dodatnią, akurat jeśli chodzi o mój powyższy post, to lepiej (nie tyle lepiej, co po prostu poprawnie) wziąć podwojoną normę, bo tak, to jeszcze może być wektor typu
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\\ldots \\0\end{array}\right)}\),
czyli jak zwykle wykładam się na rozróżnieniu dodatnie/nieujemne i jakichś brzegowych przypadkach z zerami (nie zliczę, ile punktów na studiach przez takie bzdury straciłem).-- 18 gru 2018, o 19:49 --Ale nie wykluczam, że istnieje zupełnie inne rozwiązanie, na to wpadłem w minutę, a pomysłu na inne w ogóle nie mam, ale to o niczym nie świadczy, gdyż nie jestem pomysłową czy spostrzegawczą osobą.

[MrCommando]

No tak, w zasadzie to jest proste i nie ma tu nie wiadomo czego. Najwyraźniej jeszcze nie mam dostatecznej biegłości i obycia z algebrą liniową i dlatego na to nie wpadłem. Zadania, które przerabialiśmy na ćwiczeniach też były o wiele bardziej schematyczne i łatwe. Dzięki zatem. Znasz może jakiś godny polecenia zbiór zadań z liniowej? Póki co robię zadania z Rutkowskiego, ale ogólnie są one dosyć proste.

[Premislav]

No nie bardzo mam co polecić. Ja też robiłem zadania z Rutkowskiego, takie raczej schematyczne były (ale tego potrzebowałem, bo na pierwszym semestrze algebra liniowa sprawiała mi zdecydowanie największe problemy, a właściwie tylko ona sprawiała problemy, nie czułem tego zupełnie). Serię Kostrikina Wstęp do algebry (do liniowej akurat jest 2. część; jest i teoria, i ćwiczenia w jednym) z kolei uważam za zbyt ambitną na początek, chyba że się jest bardzo zdolnym, ja Kostrikina miałem dwie pierwsze części i sprzedałem, bo nie był na mój mały rozumek. Ale możesz spojrzeć w bibliotece (jak jest) i ocenić: a nuż dla Ciebie Kostrkin będzie właśnie OK…
Może ktoś inny coś poleci, zresztą były już wątki na forum poświęcone zbiorom zadań z algebry liniowej.

[MrCommando]

Dzięki w takim razie, zobaczę co i jak. Co do Kostrikina to miałem styczność tylko z podręcznikiem i rzeczywiście sprawiał wrażenie trudnej lektury. Generalnie nie jest moim celem, żeby po prostu zaliczyć ten przedmiot, bo to akurat na spokojnie i nieźle mi to idzie, tylko mam wrażenie, że mimo to nie czuję do końca dogłębnie o co tak naprawdę chodzi w tej algebrze (na przykład to było jedno z tych kilku zadań, gdzie nie widziałem żadnego punktu zaczepienia). A przecież dogłębne zrozumienie tematu jest o wiele ważniejsze niż jakaś cyferka na papierze. Najlepszy byłby zbiór zadań na poziomie między Rutkowskim, a Kostrikinem, ale niestety nie wiem czy taki istnieje.