Przynależność wektora do sumy podprzestrzeni

[Tupensep]

Sprawdzić, czy dla podanych podprzestrzeni \(\displaystyle{ W _{1}, W_{2} \subset \mathbb R ^{4}}\) zachodzi przynależność \(\displaystyle{ \left[ 1,-1,4,5\right] \in W _{1}+W _{2}}\)
\(\displaystyle{ W _{1}=span\left\{ \left[ 1,0,2,0\right],\left[ 0,1,-1,1\right] \right\}
W _{2}=span\left\{ \left[ 1,1,0,0\right],\left[ 0,0,0,1\right] \right\}}\)

jak to zrobić najszybciej i tak żeby działało też dla podprzestrzeni o różnym wymiarze? (w trudniejszych przykładach jest taka sytuacja)
wydaje mi się że trzeba sprawdzić liniową niezależność tych wektorów i podanego, ale nie wiem co ma z tego wynikać

[janusz47]

Znajdujemy bazę sumy podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{1}+W_{2},}\) sprowadzając macierz

\(\displaystyle{ M =\left[\begin{matrix} v_{1}\\ v_{2}\\.\\.\\.\\v_{n}\\u_{1}\\ u_{2}\\.\\.\\.\\u_{m} \end{matrix}\right]}\)

złożoną z kolumn wektorów rozpinających te przestrzenie do postaci schodkowej.

Jeśli \(\displaystyle{ M'}\) jest macierzą uzyskaną z \(\displaystyle{ M}\) przez "schodkowanie" i

jeśli \(\displaystyle{ s_{1}, s_{2},...,s_{m+n}}\) są wierszami tej macierzy, wówczas prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ lin(s_{1},s_{2},...,s_{m+n}) = lin(v_{1},v_{2},...v_{n},u_{1},u_{2},...u_{m}).}\)

Sprawdzamy, czy istnieje kombinacja liniowa danego wektora w tej bazie.

[Psiaczek]

możesz ustawić te wektory rozpinające \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) wierszami , dostajesz wyznacznik:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&0&2&0\\0&1&-1&1\\1&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right|=-1 \neq 0}\)

więc będzie istniało rozwiązanie układu równań;

\(\displaystyle{ a(1,0,2,0)+b(0,1,-1,1)+c(1,1,0,0)+d(0,0,0,1)=(1,-1,4,5)}\)

po krótkich rachunkach otrzymujemy :\(\displaystyle{ a=2,b=0,c=-1,d=5}\)

I można już pisać rozkład:

\(\displaystyle{ (1,-1,4,5)=(2,0,4,0)+(-1,-1,0,5)}\)

gdzie \(\displaystyle{ (2,0,4,0)=2(1,0,2,0)+0(0,1,-1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (-1,-1,0,5)=-1(1,1,0,0)+5(0,0,0,1)}\)