Podać wzór analityczny przekształcenia liniowego

[Zaratustra]

Podać wzór analityczny przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \psi \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3}\), o którym wiadomo, że \(\displaystyle{ \ker \psi = \text{lin} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \text{im}\psi = \text{lin} \left( \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right)}\).

Nie potrafię wykorzystać założeń tego zadania :C

Żeby nie było, coś tam próbowałem:

Ukryta treść:    

Ustaliłem sobie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3}\) i próbowałem zyskać coś więcej o przekształceniu \(\displaystyle{ \psi}\).
\(\displaystyle{ \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right)}\) jest bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), więc mogę zapisać, że \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u+s \\ u+s \\ s \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ u,s,t \in \mathbb{R}}\).

\(\displaystyle{ \psi \left( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \right) = \psi \left( \begin{bmatrix} u+s \\ u+s \\ s \end{bmatrix} \right) + \psi \left( \begin{bmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \psi \left( \begin{bmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \psi \left( \begin{bmatrix} x-y \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right)}\).
I oprócz tego \(\displaystyle{ \psi \left( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \right) \left( = \psi \left( \begin{bmatrix} x-y \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right) \right) =\begin{bmatrix} v \\ v \\ v \end{bmatrix}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ v\in \mathbb{R}}\).
Nie wiem, czy z tego można wyciągnąć jakoś jednoznaczny wzór

Wskazałby ktoś, jak typowo rozwiązuje się takie zadanie?

[szw1710]

Odwzorowanie liniowe wystarczy zadać na bazie. Wobec tego musisz mieć \(\displaystyle{ \psi(1,1,0)=\psi(1,1,1)=(0,0,0)}\). No więc trzeba zadać \(\displaystyle{ \psi(1,0,0)=(1,1,1).}\) Pasuje?

[Jan Kraszewski]

Podejrzewam, że znaczenie wyrażenia "wzór analityczny" jest inne..

JK

[Psiaczek]

może by tak dopełnić to jądro do bazy \(\displaystyle{ (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}\)

wtedy będzie

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=F((x-y)(1,0,0)+(y-z)(1,1,0)+z(1,1,1))=(x-y)F(1,0,0)+(y-z)F(1,1,0)+z F(1,1,1)=(x-y)F(1,0,0)+(y-z)(0,0,0)+z(0,0,0)=(x-y)( \alpha , \alpha , \alpha)}\)


dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in R}\)

[Zaratustra]

Podejrzewam, że znaczenie wyrażenia "wzór analityczny" jest inne..

JK

Mhm. Poprzednie zadania o zbliżonej treści mieliśmy rozwiązywać aby uzyskać po prostu jawny wzór na obraz wektora \(\displaystyle{ [x,y,z]}\) przez \(\displaystyle{ \psi}\).

może by tak dopełnić to jądro do bazy \(\displaystyle{ (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}\)

wtedy będzie

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=F((x-y)(1,0,0)+(y-z)(1,1,0)+z(1,1,1))=(x-y)F(1,0,0)+(y-z)F(1,1,0)+z F(1,1,1)=(x-y)F(1,0,0)+(y-z)(0,0,0)+z(0,0,0)=(x-y)( \alpha , \alpha , \alpha)}\)


dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in R}\)

Jakieś takie rzeczy podobne wyprodukowałem ale nie byłem pewien, czy to rozw. może być jednoznaczne, zawsze też zostawało mi jakieś "dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha}\)"...
Ale też nie widzę na jakiej zasadzie można by z tak skąpych informacji dostać zupełnie jednoznaczny wzór

W każdym razie dzięki ^^

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=...=(x-y)( \alpha , \alpha , \alpha)}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\)

Jakieś takie rzeczy podobne wyprodukowałem ale nie byłem pewien, czy to rozw. może być jednoznaczne, zawsze też zostawało mi jakieś "dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha}\)"...

Bo jest po prostu dużo taki funkcji. Sprawdź, że dobre będzie zarówno

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=(x-y, x-y , x-y),}\)

jak i

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=(2x-2y, 2x-2y , 2x-2y).}\)

JK