Kiedy macierz jest nieosobliwa?

[cis123]

Macierz \(\displaystyle{ n \times n}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}H&d\\d^{T}&c\end{array}\right]}\)

ma blok \(\displaystyle{ H = I - 2ww^{T}}\), gdzie \(\displaystyle{ w \in \RR^{n-1}}\) jest wektorem jednostkowym. Jaki warunek muszą spełniać wektory \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ d}\) oraz liczba \(\displaystyle{ c}\), aby macierz \(\displaystyle{ A}\) była nieosobliwa?


Wiemy, że macierz jest nieosobliwa gdy jej wyznacznik jest różny od 0. Czy powinienem z tego skorzystać?
Nie bardzo mi coś wychodziło sensownego robiąc tym sposobem. Ktoś pomoże?

[leg14]

Zacvznij od sprawdzenia, czy macierz H jest nieosobliwa - jest to tak zwana macierz Hausholder'a

[cis123]

Macierz Householdera z definicji jest nieosobliwa, bo jest ortogonalna.

[leg14]

Super. Jest tez symetryczna prawda?
Zatem \(\displaystyle{ H = Q D Q^{T}}\) gdzie D jest diagonalna, a Q ortogonalna.
przemnoż teraz wyjściową macierz przez macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}Q&0\\0&1\end{array}\right]}\)
z lewej i jej transpozycję z prawej

[cis123]

wyszło:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}QHQ^{T}&Qd\\(Qd)^{T}&c\end{array}\right]}\)

Nie bardzo rozumiem gdzie to zmierza

[leg14]

No a czym jest \(\displaystyle{ QHQ^T}\) ?
To jest macierz diagonalna.
Zatem cała twoja macierz jest już o krok od bycia diagonalną - a nieosobliwość diagonalnej jest łatwo sprawdzić.