URL i baza

[adrion5]

Witam, mam zadanie aby znaleźć wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań tego układu równań.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4x+3y+5z+7u=2 \\ 2x-y+z+3u=4 \\ x+2y+2z+2u=-1 \\ 3x+y+3z+5u=3 \end{array}\right.}\)

Układ redukuje się do
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -5y-3z-u=6 \\ x+2y+2z+2u=-1 \end{array}\right.}\)
A rozwiązania
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{-7z-9u+1}{5} \\ y=\frac{-3z-u-6}{5} \\ z \in \RR \\ u \in \RR \end{array}\right.}\)

Intuicja podpowiada mi że te dwa wektory które mi zostały nie tworzą bazy a zatem nie ma wymiaru. Jednak jak to udowodnić i napisać formalnie.( Mam 2 niezależne wektory i 4 wymiarową przestrzeń więc nie mogą one tworzyć bazy (?))

[Jan Kraszewski]

Intuicja podpowiada mi że te dwa wektory które mi zostały nie tworzą bazy a zatem nie ma wymiaru. Jednak jak to udowodnić i napisać formalnie.( Mam 2 niezależne wektory i 4 wymiarową przestrzeń więc nie mogą one tworzyć bazy (?))

No nie. Mylisz bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\), z której masz wektory, z bazą i wymiarem przestrzeni rozwiązań, która jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\) (masz właśnie wyznaczyć iluwymiarową).

JK

[adrion5]

W takim razie doszedłem do czegoś takiego ,że dowolny "punkt" \(\displaystyle{ \left( x,y,z,u \right)}\) mogę zapisać jako
\(\displaystyle{ \left( \frac{-7z-9u+1}{5}, \frac{-3z-u-6}{5}, z, u \right)=
z\left( \frac{-7}{5}, \frac{-3}{5}, 1,0 \right)+u\left( \frac{-9}{5}, \frac{-1}{5}, 0, 1\right)+\left( \frac{1}{5} , \frac{-6}{5} , 0,0 \right)}\)


Gdyby nie było wyrazów wolnych wymiar bazy był by 2 ,(Wektory były by LNZ ) i zadanie było by praktycznie skończone a co tutaj? (Podprzestrzeń liniowa przestrzeni n wymiarowej opisana układem k liniowo niezależnych równań ma wymiar n-k co wynika z tw. Kroneckera-Capellego) A jak to zinterpretować ?

[Jan Kraszewski]

Tutaj masz dwuwymiarową podprzestrzeń afiniczną.

JK

[adrion5]

Odpowiedzią na to zadania jaką udzielił mi prowadzący ćwiczenia to "nie ma tutaj bazy a więc nie można mówić o wymiarze". Zatem odpowiedź udzielona przez niego jest błędna ?

[Jan Kraszewski]

A skąd ja mam wiedzieć, co on miał na myśli? Przestrzeń rozwiązań nie jest przestrzenią liniową, bo układ równań nie jest jednorodny. Jest jednak przestrzenią afiniczną.

Trudno mi powiedzieć, jaka odpowiedź była oczekiwana i dlaczego.

JK