Przestrzeń liniowa nad ciałem K

[aneta909811]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad ciałek \(\displaystyle{ k \quad}\) a \(\displaystyle{ \quad f:V \rightarrow k}\) niezerową funkcją liniową. Niech \(\displaystyle{ \quad U=kerf}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ V=U \oplus lin \left\{ v \right\}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ v \in V \setminus U}\)

Mam intuicję, żeby zrobić bazę \(\displaystyle{ U}\) i dopełnić ją do bazy \(\displaystyle{ V}\), ale nie wiem co dalej...

[karolex123]

Można robić tak: skoro \(\displaystyle{ f:V \rightarrow K}\) jest niezerową funkcją liniową, to \(\displaystyle{ f}\) jest epimorfizmem. Z twierdzenia o izomorfizmie wynika zatem, że \(\displaystyle{ V \setminus \ker f \simeq K}\), a więc jądro \(\displaystyle{ f}\) jest kowymiaru \(\displaystyle{ 1}\). Łatwo już sprawdzić, że istotnie \(\displaystyle{ \ker f \oplus \Lin \left\{ v\right\}=V}\)

Wskazówka: przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V/ \ker f}\) jest przestrzenią liniową wymiaru \(\displaystyle{ 1}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ v + \ker f}\) jest bazą tej przestrzeni

[foundofmath]

\(\displaystyle{ f:V \rightarrow k}\) niezerowa, więc istnieje \(\displaystyle{ v}\) takie, że \(\displaystyle{ v \in V \setminus U}\). Wówczas \(\displaystyle{ f(v) \neq 0}\), a ponadto dla \(\displaystyle{ w \in V}\) jest \(\displaystyle{ 0=f(w)-\frac{f(w)}{f(v)} \cdot f(v)=f\left(w-\frac{f(w)}{f(v)} \cdot v\right)}\) skąd \(\displaystyle{ w- \frac{f(w)}{f(v)}\cdot v \in U}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ \frac{f(w)}{f(v)} \cdot v \in lin \left\{ v \right\}}\), więc \(\displaystyle{ w=\left(w-\frac{f(w)}{f(v)} \cdot v\right)+ \frac{f(w)}{f(v)}\cdot v \in U + lin \left\{ v \right\}}\). Stąd \(\displaystyle{ V \subset U + lin \left\{ v \right\}}\) i wobec trywialnej \(\displaystyle{ U + lin \left\{ v \right\} \subset V}\) jest \(\displaystyle{ V = U + lin \left\{ v \right\}}\).
Niech \(\displaystyle{ z \in U \cap lin \left\{ v \right\}}\), wtedy \(\displaystyle{ f(z)=0,z=av}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a \in k}\). Stąd \(\displaystyle{ f(z)=f(av)=af(v)=0}\) i wobec \(\displaystyle{ f(v) \neq 0}\) jest \(\displaystyle{ a=0}\) skąd \(\displaystyle{ z=0 \cdot v=0}\). Zatem \(\displaystyle{ U \cap lin \left\{ v \right\} \subset \left\{ 0\right\}}\) i wobec trywialnej \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} \subset U \cap lin \left\{ v \right\}}\) jest \(\displaystyle{ U \cap lin \left\{ v \right\} = \left\{ 0\right\}}\). Z \(\displaystyle{ U \cap lin \left\{ v \right\} = \left\{ 0\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ V = U + lin \left\{ v \right\}}\) wynika teza.