Wyznaczenie macierzy z równania....

ulmus · Post autor: **ulmus** » 6 gru 2018, o 21:42

Witam serdecznie, to jest mój pierwszy post....
szukam pomocy, a problemjest następujący:
niech A, B, C, D oznaczają konkretne znane macierze
Natomiast X jest szukaną, o nieznanych wartościach, macierzą.
równanie wygląda następująco:
\(\displaystyle{ A \cdot X \cdot B=C \cdot X \cdot D}\)

jak wyłuskać stąd macierz X? Jak ją obliczyć?
Napotkałem na taki problem i wszelkie znane mi przekształcenia nie doprowadziły mnie do żadnego rozwiązania

Dzięki za wszelkie wskazówki i pomoc.

Alf · Post autor: **Alf** » 11 gru 2018, o 11:16

To, czy te równanie w ogóle będzie miało rozwiązanie, jak również sposób tego rozwiązania, zależy od wymiarów macierzy A,B,C,D.

ulmus · Post autor: **ulmus** » 11 gru 2018, o 14:09

Macierze kwadratowe, nieosobliwe.

Alf · Post autor: **Alf** » 11 gru 2018, o 21:50

Równanie to będzie miało rozwiązanie, jeśli macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) będą mieć parami wspólny wymiar. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest typu \(\displaystyle{ a \times a}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest typu \(\displaystyle{ b \times b}\) to \(\displaystyle{ X}\) jest typu \(\displaystyle{ a \times b}\). Teraz wystarczy oznaczyć jakoś elementy macierzy \(\displaystyle{ X}\), wymnożyć wszystkie macierze i porównać odpowiednie elementy. Otrzymamy układ \(\displaystyle{ ab}\) równań z \(\displaystyle{ ab}\) niewiadomymi, który rozwiązujemy znanymi metodami.

ulmus · Post autor: **ulmus** » 12 gru 2018, o 07:13

Dzięki,
na piechotę to rozwiązałem... myślałem, że jest może jakieś prawo, jakaś reguła przekształceń... nie wiem... dekompozycji jakiejś, która pozwoli to rozwiązać używając działań na macierzach. Moja macierz ma rozmiar 9x9, rozpisać to można, jak się zaprogramuje to też nie ma kłopotu.... program sobie poradzi i... radzi sobie wyśmienicie ...
ale z czystej ciekawości myślałem, że może da się to zrobić działaniami na macierzach...

yorgin · Post autor: **yorgin** » 12 gru 2018, o 15:56

Działaniami na macierzach problem można sprowadzić do

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_equation

\(\displaystyle{ C^{-1}AX-XDB^{-1}=0}\)

Można wskazać metodę rozwiązania, ale jeżeli działamy numerycznie (tj za pomocą komputerów), to krokiem pośrednim jest zdefiniowanie macierzy \(\displaystyle{ 81\times 81}\). Czy taka metoda jest lepsza?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 gru 2018, o 16:21

ulmus pisze:Dzięki,
na piechotę to rozwiązałem... myślałem, że jest może jakieś prawo, jakaś reguła przekształceń... nie wiem... dekompozycji jakiejś, która pozwoli to rozwiązać używając działań na macierzach. Moja macierz ma rozmiar 9x9, rozpisać to można, jak się zaprogramuje to też nie ma kłopotu.... program sobie poradzi i... radzi sobie wyśmienicie ...
ale z czystej ciekawości myślałem, że może da się to zrobić działaniami na macierzach...

A możesz pokazać tutaj swoje rozwiązanie?

ulmus · Post autor: **ulmus** » 13 gru 2018, o 07:40

a4karo pisze:A możesz pokazać tutaj swoje rozwiązanie?

Oj, za dużo musiałbym się bawić w Latexie, żeby to tutaj umieścić, poza tym tajemnica know-how . Po krótce, rozbiłem całe równanie na trzy niezależne (mnożenia przez wektory, a nie macierz). Tak było prościej ze względu na specyfikę danych,, następnie posegregowałem współczynniki, połączyłem 3 macierze wynikowe w jedną 9x9 i rozwiązałem układ równań z 9 niewiadomymi i włożyłem to w macierz transformacji. Było to szukanie macierzy transformacji przestrzeni w oparciu o rzut jednego punktu na płaszczyzne z czterech różnych, niezależnych kierunków obserwacji... co pozwala automatycznie skalibrować płaszczyznę rzutowania/obserwacji z dowolnego punktu na przestrzeń rzeczywistą 3D... to tak po krótce skąd wziął się problem... W każdym bądź razie algorytm działa wyśmienicie.

Matematyka.pl