Podać przykład przekształcenia liniowego spełniające warunki

[mmss]

Podaj przykład przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f : \RR^3 \rightarrow \RR^3}\) dla którego \(\displaystyle{ (1,1,2) \in im f, \ker f = lin{(-1,2,1)}}\) oraz \(\displaystyle{ f \circ f \circ f = 0}\)

Czy mógłbym prosić o wskazówkę w tym zadaniu ?

[Premislav]

Spróbuj napisać macierz tego przekształcenia.

[mmss]

Będziemy mieli :
\(\displaystyle{ f(-1,2,1) = (0,0,0)}\) , dodatkowo, dla pewnego wektora \(\displaystyle{ v \in \RR^3 : f(v) = f((x_{1},y_{1},z_{1})) = (1,1,2)}\). Macierz przekształcenia liniowego z \(\displaystyle{ \RR^3}\) do \(\displaystyle{ \RR^3}\) ma wymiar \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) a więc brakuje nam ostatniej kolumny tej macierzy, dwie pierwsze już mamy. Jak wyznaczyć trzecią kolumnę macierzy przekształcenia liniowego? Trzeba rozumiem jakoś umiejętnie skorzystać z \(\displaystyle{ f
\circ f \circ f = 0}\)

-- 28 lis 2018, o 23:49 --

Mhm , wydaje mi się że \(\displaystyle{ f \circ f \circ f = f(f(f(w))) = 0}\) gdzie \(\displaystyle{ w \in ker f}\)

-- 29 lis 2018, o 00:20 --

To co wyżej napisałem jest źle, raczej powinno być że \(\displaystyle{ f(f(w)) \in ker f}\) ale to nadal za wiele nie pomaga. Wtedy bysmy mieli ze \(\displaystyle{ f(f(w)) \in lin(-1,2,1)}\). Czyli biorąc dowolny wektor z \(\displaystyle{ \RR^3}\) i przekształcając go naszym \(\displaystyle{ f}\) dwa razy, trafiamy do jądra \(\displaystyle{ f}\)

-- 29 lis 2018, o 00:45 --

Czyli jako że \(\displaystyle{ (1,1,2) \in im f}\) to w \(\displaystyle{ \RR^3}\) istnieje taki \(\displaystyle{ v}\) że \(\displaystyle{ f(v) = (1,1,2)}\) a więc i \(\displaystyle{ f(f(v)) = f(1,1,2) \in ker f}\)-- 29 lis 2018, o 01:16 --Niestety troche stanąłem w miejscu z tym zadaniem.

[karolex123]

Wskazówka: niech \(\displaystyle{ v \in \mathbb R^3}\) taki, że \(\displaystyle{ f(v)=(1,1,2)}\). Spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ f(v)}\) i \(\displaystyle{ v}\) muszą być liniowo niezależne (jeśli założymy, że \(\displaystyle{ f^3=0}\))

Jak już to zrobisz, to zobacz, że \(\displaystyle{ v}\) musi być poza w \(\displaystyle{ \ker f}\). Zatem \(\displaystyle{ v}\) jest uzupełnieniem do bazy układu \(\displaystyle{ (-1,2,1) , (1,1,2)}\). Wystarczy teraz posłać wektor \(\displaystyle{ (1,1,2)}\) na wektor z \(\displaystyle{ \ker f}\) (dlaczego?)

[mmss]

Wskazówka: niech \(\displaystyle{ v \in \mathbb R^3}\) taki, że \(\displaystyle{ f(v)=(1,1,2)}\). Spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ f(v)}\) i \(\displaystyle{ v}\) muszą być liniowo niezależne (jeśli założymy, że \(\displaystyle{ f^3=0}\))

Jak już to zrobisz, to zobacz, że \(\displaystyle{ v}\) musi być poza w \(\displaystyle{ \ker f}\). Zatem \(\displaystyle{ v}\) jest uzupełnieniem do bazy układu \(\displaystyle{ (-1,2,1) , (1,1,2)}\). Wystarczy teraz posłać wektor \(\displaystyle{ (1,1,2)}\) na wektor z \(\displaystyle{ \ker f}\) (dlaczego?)

Jeśli \(\displaystyle{ v \in ker f}\) to wtedy \(\displaystyle{ f(v) = 0}\) a musi być \(\displaystyle{ f \circ f \circ f = 0}\)? Więc \(\displaystyle{ v}\) nie może leżeć w \(\displaystyle{ ker f}\)?

[karolex123]

No nie do końca. To jest oczywiste, bo przecież wybrałem \(\displaystyle{ v}\) tak, żeby \(\displaystyle{ f(v)=(1,1,2)}\), no to chyba on nie bardzo jest z jądra \(\displaystyle{ f}\)

[mmss]

Wskazówka: niech \(\displaystyle{ v \in \mathbb R^3}\) taki, że \(\displaystyle{ f(v)=(1,1,2)}\). Spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ f(v)}\) i \(\displaystyle{ v}\) muszą być liniowo niezależne (jeśli założymy, że \(\displaystyle{ f^3=0}\))

Jak już to zrobisz, to zobacz, że \(\displaystyle{ v}\) musi być poza w \(\displaystyle{ \ker f}\). Zatem \(\displaystyle{ v}\) jest uzupełnieniem do bazy układu \(\displaystyle{ (-1,2,1) , (1,1,2)}\). Wystarczy teraz posłać wektor \(\displaystyle{ (1,1,2)}\) na wektor z \(\displaystyle{ \ker f}\) (dlaczego?)

Zrozumiałem wskazówkę, i prawde mówiąc, jedyne z czym zostałem i nad czym się głowię teraz to ostatnie pytanie, czemu wystarczy posłać wektor \(\displaystyle{ (1,1,2)}\) na wektor z \(\displaystyle{ \ker f}\) ?

[karolex123]

Dobra, to pozwolę sobie to wyjaśnić
Ma zachodzić: \(\displaystyle{ f^3=0}\) (ten napis oznacza, że przekształcenie \(\displaystyle{ f \circ f \circ f}\) jest zerowe, tj. każdy wektor posyła na \(\displaystyle{ 0}\)). W szczególności musi być: \(\displaystyle{ f^3 (v)=0}\). Ale: \(\displaystyle{ v \rightarrow (1,1,2) \rightarrow f(1,1,2) \rightarrow 0}\), gdzie każda strzałka symbolizuje rzecz jasna, odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\). Na końcu jest wektor \(\displaystyle{ 0}\), no bo zaaplikowałem \(\displaystyle{ f}\) do wektora \(\displaystyle{ v}\) już trzy razy. Bezpośrednio stąd wynika, że musi być \(\displaystyle{ f(1,1,2) \in \ker f}\)