(1) Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniowa wymiaru skończonego i niech \(\displaystyle{ \alpha}\) bedzie niezerowym wektorem \(\displaystyle{ V}\) . Czy możne istnieć jej podprzestrzeń \(\displaystyle{ W \subset V}\) tego samego wymiaru co \(\displaystyle{ V}\) ( tj. dimW = dim V ) niezawierajaca wektora \(\displaystyle{ \alpha}\) ?
(2) Czy istnieje przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem liczb rzeczywistych zawierająca niezerową podprzestrzeń złożoną ze skończonej liczby wektorów?
(3) W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) dane saą układy wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \dots , \alpha_{k}}\) oraz \(\displaystyle{ \beta_{1}, \dots , \beta_{k}}\) przy czym zachodzi \(\displaystyle{ lin(\alpha_{1}, \dots , \alpha_{k})=lin(\beta_{1}, \dots , \beta_{k})}\)
Załóżmy, że układ \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \dots , \alpha_{k}}\) jest liniowo niezależny. Czy układ \(\displaystyle{ \beta_{1}, \dots , \beta_{k}}\) też jest liniowo niezależny?
(4) Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową wymiaru \(\displaystyle{ \ge 3}\). Czy \(\displaystyle{ V}\) może zawierać trzy podprzestrzenie \(\displaystyle{ V_{1}, V_{2}, V_{3}}\) takie, że zachodzi:\(\displaystyle{ V_{1} \subset
V_{2} \subset V_{3}, V_{1} \neq V_{2}, V_{2} \neq V_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ dimV_{1} +1 = dimV_{3}}\)?
Pytania do kolokwium
-
aneta909811
- Użytkownik
- Posty: 262
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 69 razy
-
MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Pytania do kolokwium
Będziemy korzystać z tego, że każdy liniowo niezależny podzbiór przestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy tej przestrzeni oraz z tego, że każdy zbiór generatorów przestrzeni liniowej zawiera bazę tej przestrzeni.
1) Przypuśćmy, że taka podprzestrzeń \(\displaystyle{ W \subset V}\) istnieje. Jeżeli \(\displaystyle{ B_W}\) oznacza bazę przestrzeni \(\displaystyle{ W}\), to wtedy układ wektorów \(\displaystyle{ B_W \cup \{\alpha\}}\) jest liniowo niezależny. Oczywiście \(\displaystyle{ B_W \cup \{\alpha\} \subseteq V}\), zatem istnieje taka baza \(\displaystyle{ B_V}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), że \(\displaystyle{ B_W \cup \{\alpha\} \subseteq B_V}\). Zatem \(\displaystyle{ B_W \subset B_V}\), stąd \(\displaystyle{ \dim W < \dim V}\), sprzeczność.
2) Przypuśćmy, że taka przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) istnieje. Wówczas istnieje taka podprzestrzeń \(\displaystyle{ W\subseteq V}\), że istnieje niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\), taki że \(\displaystyle{ v\in W}\). Ponieważ \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową, to dla każdego \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ \lambda v \in W}\). Zatem niezerowy wektor w zbiorze \(\displaystyle{ W}\) generuje od razu całą prostą, czyli zbiór złożony z nieskończonej liczby wektorów. Oznacza to, że taka przestrzeń nie istnieje.
3) Załóżmy, że \(\displaystyle{ \beta_1,...,\beta_k}\) jest układem wektorów liniowo zależnych. Wtedy istnieje podukład tego układu \(\displaystyle{ \beta_m,\beta_{m+1},...,\beta_{m+s}}\), gdzie \(\displaystyle{ s+1<k}\) będący bazą przestrzeni \(\displaystyle{ lin(\beta_1,...,\beta_k)}\). Zatem \(\displaystyle{ \dim lin(\beta_1,...,\beta_k)=s+1}\). Z drugiej strony ponieważ układ \(\displaystyle{ \alpha_1,...,\alpha_k}\) jest liniowo niezależny, to jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ lin(\beta_1,...,\beta_k)}\). Zatem \(\displaystyle{ \dim lin(\beta_1,...,\beta_k)=k}\). Zatem otrzymaliśmy \(\displaystyle{ k=s+1}\), ale przecież to daje sprzeczność, bo \(\displaystyle{ s+1<k}\). Oznacza to, że układ \(\displaystyle{ \beta_1,...\beta_k}\) musi być liniowo niezależny.
4) Załóżmy nie wprost, że takie trzy podprzestrzenie istnieją. Wówczas istnieją takie bazy \(\displaystyle{ B_1, B_2, B_3}\) odpowiednio przestrzeni \(\displaystyle{ V_1, V_2, V_3}\), że \(\displaystyle{ B_1 \subset B_2 \subset B_3}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \dim V_1 < \dim V_2 < \dim V_3 = \dim V_1 +1}\). Zatem \(\displaystyle{ \dim V_1 < \dim V_2 < \dim V_1 +1}\), skąd mamy \(\displaystyle{ 0< \dim V_2 - \dim V_1 < 1}\). Ale przecież \(\displaystyle{ \dim V_2 - \dim V_1 \in \mathbb{Z}}\), zatem otrzymaliśmy sprzeczność.
Tak bym to widział, wydaje się to sensowne. Jeżeli jednak coś gdzieś zepsułem, to niech ktoś mądrzejszy mnie poprawi
1) Przypuśćmy, że taka podprzestrzeń \(\displaystyle{ W \subset V}\) istnieje. Jeżeli \(\displaystyle{ B_W}\) oznacza bazę przestrzeni \(\displaystyle{ W}\), to wtedy układ wektorów \(\displaystyle{ B_W \cup \{\alpha\}}\) jest liniowo niezależny. Oczywiście \(\displaystyle{ B_W \cup \{\alpha\} \subseteq V}\), zatem istnieje taka baza \(\displaystyle{ B_V}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), że \(\displaystyle{ B_W \cup \{\alpha\} \subseteq B_V}\). Zatem \(\displaystyle{ B_W \subset B_V}\), stąd \(\displaystyle{ \dim W < \dim V}\), sprzeczność.
2) Przypuśćmy, że taka przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) istnieje. Wówczas istnieje taka podprzestrzeń \(\displaystyle{ W\subseteq V}\), że istnieje niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\), taki że \(\displaystyle{ v\in W}\). Ponieważ \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową, to dla każdego \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ \lambda v \in W}\). Zatem niezerowy wektor w zbiorze \(\displaystyle{ W}\) generuje od razu całą prostą, czyli zbiór złożony z nieskończonej liczby wektorów. Oznacza to, że taka przestrzeń nie istnieje.
3) Załóżmy, że \(\displaystyle{ \beta_1,...,\beta_k}\) jest układem wektorów liniowo zależnych. Wtedy istnieje podukład tego układu \(\displaystyle{ \beta_m,\beta_{m+1},...,\beta_{m+s}}\), gdzie \(\displaystyle{ s+1<k}\) będący bazą przestrzeni \(\displaystyle{ lin(\beta_1,...,\beta_k)}\). Zatem \(\displaystyle{ \dim lin(\beta_1,...,\beta_k)=s+1}\). Z drugiej strony ponieważ układ \(\displaystyle{ \alpha_1,...,\alpha_k}\) jest liniowo niezależny, to jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ lin(\beta_1,...,\beta_k)}\). Zatem \(\displaystyle{ \dim lin(\beta_1,...,\beta_k)=k}\). Zatem otrzymaliśmy \(\displaystyle{ k=s+1}\), ale przecież to daje sprzeczność, bo \(\displaystyle{ s+1<k}\). Oznacza to, że układ \(\displaystyle{ \beta_1,...\beta_k}\) musi być liniowo niezależny.
4) Załóżmy nie wprost, że takie trzy podprzestrzenie istnieją. Wówczas istnieją takie bazy \(\displaystyle{ B_1, B_2, B_3}\) odpowiednio przestrzeni \(\displaystyle{ V_1, V_2, V_3}\), że \(\displaystyle{ B_1 \subset B_2 \subset B_3}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \dim V_1 < \dim V_2 < \dim V_3 = \dim V_1 +1}\). Zatem \(\displaystyle{ \dim V_1 < \dim V_2 < \dim V_1 +1}\), skąd mamy \(\displaystyle{ 0< \dim V_2 - \dim V_1 < 1}\). Ale przecież \(\displaystyle{ \dim V_2 - \dim V_1 \in \mathbb{Z}}\), zatem otrzymaliśmy sprzeczność.
Tak bym to widział, wydaje się to sensowne. Jeżeli jednak coś gdzieś zepsułem, to niech ktoś mądrzejszy mnie poprawi