Znaleźć wszystkie macierze

[camillus25]

Jak znaleźć wszystkie macierze \(\displaystyle{ A \in M(2 \times 2,\RR)}\) takie, że \(\displaystyle{ A ^{2}=1?}\)

[szw1710]

Co to jest \(\displaystyle{ 1}\)?

[camillus25]

szw1710, też się nad tym zastanawiałem, ale doszedłem do wniosku, że to musi być macierz jednostkowa.

[szw1710]

Ze względu na twierdzenie Cauchy'ego wyznacznik takiej macierzy to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Weź więc macierz \(\displaystyle{ 2\times 2}\) z wyznacznikiem \(\displaystyle{ \pm 1}\) i zobacz jakie dalsze warunki musi spełniać. Niech więc \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix},}\) gdzie \(\displaystyle{ ad-bc\in\{-1,1\}.}\) Jakie dalsze warunki muszą spełniać \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)?

[camillus25]

szw1710, Wiem, że:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a ^{2}+bc &ab+bd\\ac+cd&bc+d ^{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a ^{2}+bc=1\\ab+bd=0\\ac+cd=0\\bc+d ^{2}=1 \end{array}}\)

Tylko teraz nie wiem jak to rozwiązać? Proszę bardzo o pomoc.

[szw1710]

Np. \(\displaystyle{ b(a+d)=0}\) oraz \(\displaystyle{ c(a+d)=0}\). Mamy więc trzy przypadki.

[camillus25]

Jeżeli odejmiemy ostatnie równanie od pierwszego to otrzymamy, że: \(\displaystyle{ a ^{2}=d ^{2}}\). Tylko jak to teraz dalej pociągnąć?

[Psiaczek]

a nie szybciej będzie przekształcić ten warunek do \(\displaystyle{ A=A^{-1}}\)

co doprowadzi do równania:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}= \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}\)

i rozważyć przypadki \(\displaystyle{ ad-bc=1}\) oraz \(\displaystyle{ ad-bc=-1}\)

[camillus25]

Tylko w dalszym ciągu nie wiem jak rozwiązać układ równań z 4 niewiadomymi?

[yorgin]

Można do tego zadania podejść zupełnie od innej strony.

Niech

\(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1\end{bmatrix}}\).

Oczywiście są \(\displaystyle{ 4}\) macierze powyższej postaci.

Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie dowolną macierzą nieosobliwą, tj \(\displaystyle{ \det B\neq 0}\).

Teraz łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ A=BJB^{-1}}\) jest dobra, tj \(\displaystyle{ A^2=I}\).

Natomiast uzasadnienie poprawności powyższego (i jednocześnie wskazanie, że więcej macierzy nie ma) może wymagać znajomości rozkładów Jordana, a nie jestem pewien, czy jest to rzecz znana.

[a4karo]

Tyle że musisz udowodnic, że w ten sposob dostaniesz WSZYSTKIE macierze \(\displaystyle{ A}\)

[karolex123]

Tyle że musisz udowodnic, że w ten sposob dostaniesz WSZYSTKIE macierze \(\displaystyle{ A}\)

Skoro wielomian stopnia drugiego \(\displaystyle{ p(t)=t^2 -1}\) znika na macierzy \(\displaystyle{ A}\), to mamy natychmiastowy wniosek, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna nad \(\displaystyle{ \mathbb R}\), przy czym wartościami własnymi mogą być tylko \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ A=BJB^{-1}}\) dla pewnej nieosobliwej \(\displaystyle{ B}\) (bez twierdzenia Jordana)