Pokazać, że dana równość jest prawdziwa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 27 razy

Pokazać, że dana równość jest prawdziwa

Post autor: camillus25 »

Korzystając z macierzy Pauliego

\(\displaystyle{ \sigma _{1}=\left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&0\end{array}\right], \sigma _{2}=\left[\begin{array}{ccc}0&-i\\i&0\end{array}\right], \sigma _{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1\end{array}\right]}\)

mam pokazać, że:

\(\displaystyle{ \sigma _{k}\sigma _{l}=\delta _{kl}+i \sum_{m=1}^{3}\epsilon _{klm}\sigma _{m}}\).
Ostatnio zmieniony 24 lis 2018, o 18:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Pokazać, że dana równość jest prawdziwa

Post autor: janusz47 »

Najpierw sprawdzamy bezpośrednim mnożeniem macierzy Pauliego, że zachodzą równości:

\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{2} = i\sigma_{3} \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{3} = i\sigma_{1} \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{2}\sigma_{1}= -i\sigma_{3} \ \ (3)}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{1}= \sigma_{2}\sigma_{2} =\sigma_{3}\sigma_{3}= I \ \ (4)}\) - macierz jednostkowa

Na podstawie definicji : Delty Kroneckera i Symbolu Levi-Civita oraz własności (1) - (4)
znajdujemy:

-komutator \(\displaystyle{ [\sigma_{k}, \sigma_{l}] = 2i\epsilon_{klm} \ \ (5)}\)
i
-antykomutator \(\displaystyle{ \{ \sigma_{k}, \sigma_{l}\} = 2\delta_{kl} I \ \ (6)}\)

macierzy Paulliego.

Z równań (5) i (6) obliczamy iloczyn \(\displaystyle{ \sigma_{k}\sigma_{l}, \ \ k, l =1,2,3.}\)
ODPOWIEDZ