Korzystając z macierzy Pauliego
\(\displaystyle{ \sigma _{1}=\left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&0\end{array}\right], \sigma _{2}=\left[\begin{array}{ccc}0&-i\\i&0\end{array}\right], \sigma _{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1\end{array}\right]}\)
mam pokazać, że:
\(\displaystyle{ \sigma _{k}\sigma _{l}=\delta _{kl}+i \sum_{m=1}^{3}\epsilon _{klm}\sigma _{m}}\).
Pokazać, że dana równość jest prawdziwa
- camillus25
- Użytkownik
- Posty: 160
- Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 27 razy
Pokazać, że dana równość jest prawdziwa
Ostatnio zmieniony 24 lis 2018, o 18:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Pokazać, że dana równość jest prawdziwa
Najpierw sprawdzamy bezpośrednim mnożeniem macierzy Pauliego, że zachodzą równości:
\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{2} = i\sigma_{3} \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{3} = i\sigma_{1} \ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{2}\sigma_{1}= -i\sigma_{3} \ \ (3)}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{1}= \sigma_{2}\sigma_{2} =\sigma_{3}\sigma_{3}= I \ \ (4)}\) - macierz jednostkowa
Na podstawie definicji : Delty Kroneckera i Symbolu Levi-Civita oraz własności (1) - (4)
znajdujemy:
-komutator \(\displaystyle{ [\sigma_{k}, \sigma_{l}] = 2i\epsilon_{klm} \ \ (5)}\)
i
-antykomutator \(\displaystyle{ \{ \sigma_{k}, \sigma_{l}\} = 2\delta_{kl} I \ \ (6)}\)
macierzy Paulliego.
Z równań (5) i (6) obliczamy iloczyn \(\displaystyle{ \sigma_{k}\sigma_{l}, \ \ k, l =1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{2} = i\sigma_{3} \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{3} = i\sigma_{1} \ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{2}\sigma_{1}= -i\sigma_{3} \ \ (3)}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{1}\sigma_{1}= \sigma_{2}\sigma_{2} =\sigma_{3}\sigma_{3}= I \ \ (4)}\) - macierz jednostkowa
Na podstawie definicji : Delty Kroneckera i Symbolu Levi-Civita oraz własności (1) - (4)
znajdujemy:
-komutator \(\displaystyle{ [\sigma_{k}, \sigma_{l}] = 2i\epsilon_{klm} \ \ (5)}\)
i
-antykomutator \(\displaystyle{ \{ \sigma_{k}, \sigma_{l}\} = 2\delta_{kl} I \ \ (6)}\)
macierzy Paulliego.
Z równań (5) i (6) obliczamy iloczyn \(\displaystyle{ \sigma_{k}\sigma_{l}, \ \ k, l =1,2,3.}\)