Czy dobrze wyznaczyłem baze

[mmss]

Mamy podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) która jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^5}\). Mam wyznaczyć wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) opisanej układem równań w zalezności od parametru \(\displaystyle{ a}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{4}+x_{5} = 0 \\2x_{1} + 4x_{2} - 2x_{3}+2x_{4}+ax_{5} = 0 \end{cases}}\).

Najpierw piszę macierz tego układu, odejmuję \(\displaystyle{ 2}\) razy \(\displaystyle{ I}\) wiersz od \(\displaystyle{ II}\) wiersza i otrzymuję że \(\displaystyle{ x_{1} =-2x_{2}+x_{3}-x_{4}-x_{5} \wedge (a-2) x_{5} = 0}\).

A więc dla \(\displaystyle{ a}\) różnego od \(\displaystyle{ 2}\) mamy że \(\displaystyle{ \dim V = 3}\) bo wtedy \(\displaystyle{ x_{5} = 0}\), a dla \(\displaystyle{ a = 2}\) mamy że \(\displaystyle{ \dim V = 3}\) gdy \(\displaystyle{ x_{5} = 0}\) i dla dowolnych \(\displaystyle{ x_{5} \neq 0}\) mamy że \(\displaystyle{ \dim V = 4}\).

Czy to co napisałem jest prawdą? Mam niebawem kolokwium i to zadanie było kolokwialne, dlatego pytam czy do tego momentu ma to ręce i nogi, jesli tak do zadam kolejną cześć postaram się rozwiązać.

[janusz47]

Zapisujemy układ w postaci macierzy (zera prawej strony pamiętamy):

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}1&2&-1&1&1\\ 2&4&-2&2&a \end{matrix}\right]}\)

Wiersz drugi mnożymy przez \(\displaystyle{ -2}\) i dodajemy do wiersza pierwszego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&-1&1&1\\ 0&0&0&0&a-2 \end{matrix}\right]}\)

Z postaci drugiego wiersza macierzy wynika, że gdy \(\displaystyle{ a = 2}\) wiersz ten staje się zerowy,

\(\displaystyle{ dim V = 1}\), wektorem bazowym jest na przykład wektor:

\(\displaystyle{ \vec{v}= \left[\begin{matrix}1\\2\\-1\\1\\1 \end{matrix}\right]}\)

Gdy \(\displaystyle{ a \neq 2}\)

wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ dim V =2}\) i jej bazę stanowią na przykład wektory:

\(\displaystyle{ \vec{v}_{1}= \left[\begin{matrix}1\\2\\-1\\1\\1 \end{matrix}\right] \ \ \vec{v}_{2}= \left[\begin{matrix}0\\0\\0\\0\\1 \end{matrix}\right].}\)

[Psiaczek]

Janusz47 pomyśl chwilę, w przypadku gdy te dwa równania redukują się do jednego, to otrzymujemy równanie hiperpłaszczyzny w \(\displaystyle{ \RR^5}\), a hiperpłaszczyzna ma zawsze wymiar o 1 niższa niż przestrzeń.
A to co ty podajesz jako generator, to zdaje się jest wektor normalny tej hiperpłaszczyzny

[janusz47]

@Psiaczek masz rację, odnosząc do przestrzeni ]\(\displaystyle{ \RR^{5}}\) w przypadku, gdy \(\displaystyle{ a =2, \ \ \dim (V) = 4.}\) i jej bazę stanowią wektory:

\(\displaystyle{ \vec{v^{'}_{1}}= \left[\begin{matrix}-1\\0\\0\\0\\1\end{matrix}\right] \ \ \vec{v^{'}_{2}}= \left[\begin{matrix}-2\\0\\0\\1\\0 \end{matrix}\right] \ \ \vec{v^{'}_{3}}= \left[\begin{matrix}1\\0\\1\\0\\0 \end{matrix}\right] \ \ \vec{v^{'}_{4}}= \left[\begin{matrix}-1\\1\\0\\0\\0 \end{matrix}\right].}\)

gdy \(\displaystyle{ a\neq 2}\) \(\displaystyle{ \dim(V )=3}\) i jej bazę generowana jest przez wektory:

\(\displaystyle{ \vec{v^{''}_{1}} = \left[ \begin{matrix}-2\\0\\0 \end{matrix}\right] \ \ \vec{v^{''}_{2}} = \left[ \begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right] \ \ \vec{v^{''}_{3}}= \left[\begin{matrix}0\\0\\-1 \end{matrix}\right]}\)

Dziękuję za zwrócenie uwagi.

[mmss]

Zapisujemy układ w postaci macierzy (zera prawej strony pamiętamy):

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}1&2&-1&1&1\\ 2&4&-2&2&a \end{matrix}\right]}\)

Wiersz drugi mnożymy przez \(\displaystyle{ -2}\) i dodajemy do wiersza pierwszego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&-1&1&1\\ 0&0&0&0&a-2 \end{matrix}\right]}\)

Z postaci drugiego wiersza macierzy wynika, że gdy \(\displaystyle{ a = 2}\) wiersz ten staje się zerowy,

\(\displaystyle{ dim V = 1}\), wektorem bazowym jest na przykład wektor:

\(\displaystyle{ \vec{v}= \left[\begin{matrix}1\\2\\-1\\1\\1 \end{matrix}\right]}\)

Gdy \(\displaystyle{ a \neq 2}\)

wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ dim V =2}\) i jej bazę stanowią na przykład wektory:

\(\displaystyle{ \vec{v}_{1}= \left[\begin{matrix}1\\2\\-1\\1\\1 \end{matrix}\right] \ \ \vec{v}_{2}= \left[\begin{matrix}0\\0\\0\\0\\1 \end{matrix}\right].}\)

Mogę zapytać dlaczego takie są wektory bazowa? To co napisałeś to wektory opisujące układ równań...

[Psiaczek]

Widzę że jednak będę musiał coś napisać
w przypadku gdy układ redukuje się do jednego równania:

\(\displaystyle{ x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{4}+x_{5} = 0}\)

możemy postąpić następująco

przyjmujemy \(\displaystyle{ x_{1}=a,x_{2}=b, x_{3}=c,x_{4}=d}\)

wtedy z tego równania \(\displaystyle{ x_{5}=-a-2b+c-d}\)

zauważmy że
\(\displaystyle{ [a,b,c,d,-a-2b+c-d]=[a,0,0,0,-a]+[0,b,0,0,-2b]+[0,0,c,0,c]+[0,0,0,d,-d]=a[1,0,0,0,-1]+b[0,1,0,0,-2]+c[0,0,1,0,1]+d[0,0,0,1,-1]}\)

łatwo widać, że te 4 wektory są liniowo niezależne, więc tworzą bazę i w tym przypadku istotnie wymiar wynosi 4

I dość podobnie można zrobić drugi przypadek gdy te dwa równania są niezależne, tylko będzie jeden parametr mniej i wymiar o jeden mniejszy.

[janusz47]

Zamiast wyznaczać \(\displaystyle{ x_{5}}\) w zależności od \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3},x_{4}}\) możemy równie dobrze wyznaczyć \(\displaystyle{ x_{1}}\) w zależności od \(\displaystyle{ x_{2},x_{3},x_{4}, x_{5}}\) jak również każdą ze zmiennych \(\displaystyle{ x_{2}, x_{3}, x_{4}.}\)

[Psiaczek]

Janusz47 zgadzam się, ale jakby tego nie liczyć, te wektory nie będą takie jak w twoim poście z godz. 18.14
bo tam liczba współrzędnych się nie zgadza