Podprzestrzenie liniowe - dowody

[MrCommando]

Mam parę zadań dotyczących przestrzeni liniowych. Są to dla mnie dosyć nowe pojęcia i nie czuję się jeszcze zbyt pewnie w tych zagadnieniach, więc mam pytanie - czy moje rozumowanie jest poprawne? Jeśli są błędy, to proszę o sprostowanie i wyjaśnienie.

Mamy przestrzeń liniową \(\displaystyle{ \mathbb{K}^n}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\). Niech \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\) będą jej podprzestrzeniami.

1) Mamy pokazać, ze jeśli \(\displaystyle{ V_1 \subseteq V_2}\), to \(\displaystyle{ \dim V_1 \leq \dim V_2}\), przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ V_1=V_2}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ V_1=V_2}\), to oczywiste jest, że \(\displaystyle{ \dim V_1 = \dim V_2}\) (są to te same przestrzenie liniowe, zatem mają identyczne bazy). Załóżmy zatem, że \(\displaystyle{ V_1 \subset V_2}\). Oznacza to, że istnieje element \(\displaystyle{ v\in V_2}\), taki że \(\displaystyle{ v \notin V_1}\). Niech \(\displaystyle{ B_1, B_2}\) oznaczają dowolne bazy odpowiednio \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\). Wektory z bazy \(\displaystyle{ B_1}\) i wektor \(\displaystyle{ v}\) muszą być niezależne liniowo. W przeciwnym razie wektor \(\displaystyle{ v}\) byłby kombinacją liniową wektorów z \(\displaystyle{ B_1}\), co oznaczałoby, że \(\displaystyle{ v\in span_{\mathbb{K}}B_1 \subseteq V_1}\), a przecież \(\displaystyle{ v\notin V_1}\). Ogólnie to zbiór \(\displaystyle{ B_1 \cup \{v\}}\) jest pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ V_2}\) składającym się z wektorów liniowo niezależnych. Ponieważ \(\displaystyle{ B_2}\) z definicji jest największym podzbiorem liniowo niezależnych wektorów zbioru \(\displaystyle{ V_2}\), to musi zachodzić \(\displaystyle{ B_1 \cup \{u\} \subseteq B_2}\). Zatem \(\displaystyle{ B_1 \subset B_1 \cup \{u\} \subseteq B_2}\), co oznacza że \(\displaystyle{ |B_1|<|B_2|}\), skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ \dim B_1 < \dim B_2}\).

Pozostało by jeszcze pokazać, że z równości \(\displaystyle{ \dim V_1 =\dim V_2}\) wynika, że \(\displaystyle{ V_1=V_2}\). Generalnie równość wymiarów tych przestrzeni oznacza, że ich bazy mają równe moce. Trzeba pokazać, że te bazy są równoważne i generują tą samą przestrzeń. Intuicyjnie wydaje się, że to jest jasne, jednak mam problem z odpowiednim zapisem i uzasadnieniem.

2) Zdefiniujmy \(\displaystyle{ V_1+V_2=\{v_1+v_2: v_1 \in V_1, v_2 \in V_2\}}\). Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ \dim(V_1+V_2)=1+\dim(V_1 \cap V_2)}\), to \(\displaystyle{ V_1+V_2}\) jest równa jednej z tych podprzestrzeni, a \(\displaystyle{ V_1 \cap V_2}\) drugiej.

Tu już za bardzo nie wiem jak należy podejść, zatem proszę o podpowiedzi.

[Premislav]

2) O, nawet fajne zadanie (modulo moje niskie umiejętności w zakresie algebry liniowej), choć proste.
Zauważmyż, iż \(\displaystyle{ V_1\cap V_2\subseteq V_1+V_2}\), istotnie, jeżeli \(\displaystyle{ v\in V_1\cap V_2}\), to np. \(\displaystyle{ v=\overbrace{v}^{\in V_1}+\overbrace{\mathbf{0}}^{\in V_2}}\)
Skoro (oczywiście poruszamy się tu, jak mówią założenia zadania, w przestrzeniach skończonego wymiaru) \(\displaystyle{ \dim(V_1+V_2)=1+\dim(V_1 \cap V_2)}\), to jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ B}\) – baza \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\) (oczywiście \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\) też jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb{K}^n}\)), mamy, że istnieje wektor \(\displaystyle{ u\in( V_1+V_2)\setminus\left( V_1\cap V_2\right)}\) taki, że\(\displaystyle{ B\cup\left\{ u\right\}}\) jest bazą \(\displaystyle{ V_1+V_2}\) (nie wiem, na ile to jest oczywiste, ale najwyżej sobie uzupełnisz). Oczywiście na podobnej zasadzie jak wcześniej mamy
\(\displaystyle{ V_1\subseteq V_1+V_2}\) oraz \(\displaystyle{ V_2\subseteq V_1+V_2}\).
Co by się stało, gdyby, dla ustalenia uwagi,
\(\displaystyle{ V_1\cap V_2\subset V_1\subset V_1+V_2}\)
(tutaj: bez równości). Co mógłbyś powiedzieć o bazie przestrzeni \(\displaystyle{ V_1}\)?

[MrCommando]

istnieje wektor \(\displaystyle{ u\in( V_1+V_2)\setminus\left( V_1\cap V_2\right)}\) taki, że\(\displaystyle{ B\cup\left\{ u\right\}}\) jest bazą \(\displaystyle{ V_1+V_2}\) (nie wiem, na ile to jest oczywiste, ale najwyżej sobie uzupełnisz)

Mam wrażenie, że chodzi o to, że po prostu \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V_1+V_2}\). Baza \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\) ma moc mniejszą o \(\displaystyle{ 1}\) od bazy \(\displaystyle{ V_1+V_2}\). Zatem będzie dokładnie jeden wektor taki, że znajduje się on w bazie \(\displaystyle{ V_1+V_2}\), a nie znajduje się w bazie \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\).

Co by się stało, gdyby, dla ustalenia uwagi,
\(\displaystyle{ V_1\cap V_2\subset V_1\subset V_1+V_2}\)
(tutaj: bez równości). Co mógłbyś powiedzieć o bazie przestrzeni \(\displaystyle{ V_1}\)?

Moim zdaniem tutaj wyjdzie jakaś sprzeczność (okaże się, że musi zachodzić równość). W końcu z założenia mamy, że moc bazy \(\displaystyle{ V_1 \cap V_2}\) jest o \(\displaystyle{ 1}\) mniejsza od mocy bazy \(\displaystyle{ V_1+V_2}\). A jeżeli \(\displaystyle{ V_1\cap V_2 \subset V_1}\), to wtedy istnieje wektor \(\displaystyle{ v\in V_1}\), taki że \(\displaystyle{ v\notin V_1\cap V_2}\). Wektor ten jest liniowo niezależny z wektorami z bazy \(\displaystyle{ V_1 \cap V_2}\), więc baza \(\displaystyle{ V_1 \cap V_2}\) na pewno nie generuje przestrzeni \(\displaystyle{ V_1}\). Zatem na pewno moc bazy przestrzeni \(\displaystyle{ V_1}\) jest ostro większa od mocy bazy \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\). W analogiczny sposób możemy dojść do tego, że moc bazy \(\displaystyle{ V_1+V_2}\) jest ostro większa od mocy bazy \(\displaystyle{ V_1}\). Zatem ogólnie sprzeczność wynika z faktu, że pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi nie ma liczby naturalnej. Oznacza to, że musi zachodzić jedna z równości \(\displaystyle{ V_1\cap V_2 = V_1}\) lub \(\displaystyle{ V_1+V_2=V_1}\). W pierwszym przypadku mamy, że \(\displaystyle{ V_1 \subseteq V_2}\). Wtedy będziemy mieć \(\displaystyle{ V_1+V_2=V_2}\). Z kolei w drugim widać, że \(\displaystyle{ V_2 \subseteq V_1}\). No i też nam wyjdzie wtedy to co miało wyjść.

W ogóle jeszcze mam coś takiego:

3) Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \dim V_1 +\dim V_2 > \dim \mathbb{K}^n = n}\), to \(\displaystyle{ V_1\cap V_2 \neq \{0\}}\).

Czy dobrze to robię?

Skorzystamy z prawa kontrapozycji.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ V_1\cap V_2 = \{0\}}\). Jeżeli oznaczymy jako \(\displaystyle{ B_1, B_2}\) odpowiednio bazy \(\displaystyle{ V_1, V_2}\), to wtedy \(\displaystyle{ B_1\cap B_2 = \emptyset}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ \dim V_1 +\dim V_2 =|B_1|+|B_2|=|B_1 \cup B_2|}\). Jeżeli teraz \(\displaystyle{ B}\) będzie bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{K}^n}\), to na pewno \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2 \subseteq B}\), czyli \(\displaystyle{ \dim V_1 +\dim V_2 =|B_1 \cup B_2| \leq |B|=n}\). No i to w zasadzie kończyłoby sprawę.

[Premislav]

Prawie wszystko OK.

Jeżeli teraz \(\displaystyle{ B}\) będzie bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{K}^n}\), to na pewno \(\displaystyle{ B_1 \cup B_2 \subseteq B}\)

Niekoniecznie, wszak wybór bazy nie jest jednoznaczny, np. układ wektorów
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1\\0\end{array}\right], \ \left[\begin{array}{cc}1\\1\end{array}\right]}\) jest tak samo dobrą bazą \(\displaystyle{ \RR^2}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \RR}\), jak ta „standardowa" baza. Zastąpiłbym to tak:
istnieje taka baza \(\displaystyle{ B}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{K}^n}\), że \(\displaystyle{ B_1\cup B_2\subseteq B}\), co wynika ze znanego twierdzenia (nie pamiętam nazwy, w każdym razie sens jest taki, że każdy układ liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\) możemy rozszerzyć do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ X}\)). Dalej nierówności bez zmian.

[Dasio11]

Ogólnie to zbiór \(\displaystyle{ B_1 \cup \{v\}}\) jest pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ V_2}\) składającym się z wektorów liniowo niezależnych. Ponieważ \(\displaystyle{ B_2}\) z definicji jest największym podzbiorem liniowo niezależnych wektorów zbioru \(\displaystyle{ V_2}\), to musi zachodzić \(\displaystyle{ B_1 \cup \{u\} \subseteq B_2}\).

Tu jest błąd, bo baza to maksymalny, a nie największy, liniowo niezależny podzbiór przestrzeni liniowej. Zamiast tego trzeba skorzystać z faktu, że każdy liniowo niezależny podzbiór rozszerza się do bazy i zadeklarować, że \(\displaystyle{ B_2}\) jest takim właśnie rozszerzeniem podzbioru \(\displaystyle{ B_1 \cup \{ u \}}\).

[MrCommando]

Premislav, Dasio11, dziękuję za cenne uwagi, zrozumiałem o co chodzi.

Jeśli chodzi o twierdzenie o tym rozszerzaniu układu wektorów liniowo niezależnych do bazy, to wygooglowałem i znalazłem ... node3.html (twierdzenie 2.5). Przydatny fakt. Dzięki za pomoc.