baza podprzestrzeni liniowej wielomianów

[aneta909811]

Mam znaleźć bazę podprzestrzeni liniowej wielomianów spełniających
\(\displaystyle{ \cdot f(1)=f(2)=0}\)
\(\displaystyle{ \cdot f^{(3)}(7)=0}\)

Czy ktoś mógłby wytłumaczyć jak to się robi?

[szw1710]

Pierwszy warunek wobec tw. Bezouta mówi nam, że takie wielomiany mają postać \(\displaystyle{ f(x)=w(x)(x-1)(x-2)}\) dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ w(x).}\) Warunek drugi mówi nam, że siódemka jest pierwiastkiem czterokrotnym wielomianu \(\displaystyle{ f}\) (jest takie piękne twierdzenie). Więc mamy też możliwość podzielenia przez \(\displaystyle{ (x-7)^4.}\) W efekcie mamy \(\displaystyle{ f(x)=(x-1)(x-2)(x-7)^4p(x)}\) dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ p}\). Pomyśl teraz, jak można by tę bazę znaleźć. Które wektory będą tu liniowo niezależne?

[aneta909811]

Więc co jest bazą? i jaki w ogóle będzie jej wymiar?

[Premislav]

Warunek drugi mówi nam, że siódemka jest pierwiastkiem czterokrotnym wielomianu \(\displaystyle{ f}\) (jest takie piękne twierdzenie).

Chyba to twierdzenie mówi nam co innego. Dla wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^4+1}\) mamy \(\displaystyle{ w^{(3)}(0)=0}\), ale nieprawdą jest, że \(\displaystyle{ w(0)=0}\), ani tym bardziej że \(\displaystyle{ w(x)=x^4 q(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ q(x)}\). To twierdzenie „leci" tak:
jeśli \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem n-krotnym wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in \NN^+, n>1}\), to jest też \(\displaystyle{ n-1}\)-krotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ P'(x)}\), tj. jeśli
\(\displaystyle{ (x-x_0)^n|P(x)}\), to \(\displaystyle{ (x-x_0)^{n-1}|P'(x)}\). W drugą stronę to niestety nie działa, gdyż funkcje różniące się o stałą mają tę samą pochodną.

[szw1710]

Tak - uprościłem sprawę. Oczywiście, że to działa w jedną stronę. Trzeba Taylora wziąć. Więc to mówi tylko tyle, że współczynnik przy \(\displaystyle{ (x-7)^3}\) znika.