Suma prosta, równoważność stwierdzeń

[mmss]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową i niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą podprzestrzeniami \(\displaystyle{ V}\).

Mam pokazać że jeśli \(\displaystyle{ W}\) jest sumą prostą \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to wtedy jeśli dla pewnych \(\displaystyle{ a \in A \wedge b \in B}\) mamy że \(\displaystyle{ a+b = 0}\) to \(\displaystyle{ a= 0 \wedge b = 0}\)

Dowód :

Jeśli \(\displaystyle{ a + b = 0}\) i \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to wtedy \(\displaystyle{ a = -b}\) czyli wtedy \(\displaystyle{ a \in A \wedge a \in B}\) co jest sprzeczne z tym że \(\displaystyle{ A \cap B = \left\{ 0\right\}}\) a więc \(\displaystyle{ a = 0}\) a wtedy \(\displaystyle{ b = 0}\) . Czy tak powinno ten fakt się wykazywać ?

[Adam-m]

No, prawie dobrze.
\(\displaystyle{ a = -b \implies a\in A\cap B \implies a = 0}\)
No i że \(\displaystyle{ b = 0}\) to już mamy z tego że \(\displaystyle{ a+b = 0}\)