Rozszerzanie do bazy

[Percepton]

Witam, czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak wpadać na pomysł, jak dobrać dobrać wektor tak aby go rozszerzyć do jakiejś bazy?
Np. mam takie wektory:
\(\displaystyle{ [1,1,1,1]^T}\) \(\displaystyle{ [1,1,-1,-1]^T}\) \(\displaystyle{ [-1,1,1,-1]^T}\) i mam rozszerzyć je do bazy \(\displaystyle{ \RR^4}\) dodając jeden wektor. Czasami jest tak, że się od razu rzuca w oczy jaki wektor mam dobrać, potem tylko udowodnić, że on jest ok... ale w przypadkach takich jak ten nie widzę tego i chciałbym poprosić was o jakąś ogólniejszą metodę.

[Dasio11]

Jeśli dany układ wektorów \(\displaystyle{ (v_1, \ldots, v_k)}\) jest liniowo zależny, to nie da się go rozszerzyć do żadnej bazy. W przeciwnym razie żeby rozszerzyć go do bazy, wystarczy znaleźć wektor leżący poza podprzestrzenią generowaną przez \(\displaystyle{ (v_1, \ldots, v_k)}\) i iterować tę procedurę. W tym celu można wziąć dowolną bazę \(\displaystyle{ (b_1, \ldots, b_n)}\) i sprawdzić, który z wektorów bazowych nam pasuje. A któryś musi pasować, bo w przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ (v_1, \ldots, v_k)}\) generowałoby wszystkie wektory bazowe, więc generowałoby całą przestrzeń, czyli już byłoby bazą.